MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleib 20256
Description: Leibniz' Formula for 2x2-matrices. (Contributed by AV, 21-Dec-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleib.n 𝑁 = {1, 2}
m2detleib.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
m2detleib.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleib.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleib.m = (-g𝑅)
m2detleib.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
m2detleib ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))

Proof of Theorem m2detleib
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 m2detleib.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 m2detleib.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 m2detleib.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2610 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5 eqid 2610 . . . 4 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6 eqid 2610 . . . 4 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
7 m2detleib.t . . . 4 · = (.r𝑅)
8 eqid 2610 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetleib1 20216 . . 3 (𝑀𝐵 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))))
109adantl 481 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))))
11 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12 eqid 2610 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
13 ringcmn 18404 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
1413adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
15 m2detleib.n . . . . . 6 𝑁 = {1, 2}
16 prfi 8120 . . . . . 6 {1, 2} ∈ Fin
1715, 16eqeltri 2684 . . . . 5 𝑁 ∈ Fin
18 eqid 2610 . . . . . 6 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
1918, 4symgbasfi 17629 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
2017, 19ax-mp 5 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin
2120a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
22 simpl 472 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2322adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
244, 6, 5zrhpsgnelbas 19759 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
2517, 24mp3an2 1404 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
2625adantlr 747 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
27 simpr 476 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
28 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
2928adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑀𝐵)
3015, 4, 2, 3, 8m2detleiblem2 20253 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
3123, 27, 29, 30syl3anc 1318 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
3211, 7ringcl 18384 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
3323, 26, 31, 32syl3anc 1318 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
34 opex 4859 . . . . . . . 8 ⟨1, 1⟩ ∈ V
35 opex 4859 . . . . . . . 8 ⟨2, 2⟩ ∈ V
3634, 35pm3.2i 470 . . . . . . 7 (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V)
37 opex 4859 . . . . . . . 8 ⟨1, 2⟩ ∈ V
38 opex 4859 . . . . . . . 8 ⟨2, 1⟩ ∈ V
3937, 38pm3.2i 470 . . . . . . 7 (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)
4036, 39pm3.2i 470 . . . . . 6 ((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V))
41 1ne2 11117 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 2
4241olci 405 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 2)
43 1ex 9914 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
4443, 43opthne 4877 . . . . . . . . 9 (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 2))
4542, 44mpbir 220 . . . . . . . 8 ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩
4641orci 404 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 2 ∨ 1 ≠ 1)
4743, 43opthne 4877 . . . . . . . . 9 (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩ ↔ (1 ≠ 2 ∨ 1 ≠ 1))
4846, 47mpbir 220 . . . . . . . 8 ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩
4945, 48pm3.2i 470 . . . . . . 7 (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩)
5049orci 404 . . . . . 6 ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩))
5140, 50pm3.2i 470 . . . . 5 (((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) ∧ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩)))
5251a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) ∧ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩))))
53 prneimg 4328 . . . . 5 (((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) → (((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩)) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ≠ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
5453imp 444 . . . 4 ((((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 2⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 1⟩ ∈ V)) ∧ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨2, 1⟩) ∨ (⟨2, 2⟩ ≠ ⟨1, 2⟩ ∧ ⟨2, 2⟩ ≠ ⟨2, 1⟩))) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ≠ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
55 disjsn2 4193 . . . 4 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ≠ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∩ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}) = ∅)
5652, 54, 553syl 18 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∩ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}) = ∅)
57 2nn 11062 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
5818, 4, 15symg2bas 17641 . . . . . 6 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
5943, 57, 58mp2an 704 . . . . 5 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
60 df-pr 4128 . . . . 5 {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} = ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∪ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
6159, 60eqtri 2632 . . . 4 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∪ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
6261a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = ({{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ∪ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}))
6311, 12, 14, 21, 33, 56, 62gsummptfidmsplit 18153 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))))))))
64 ringmnd 18379 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
6564adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
66 prex 4836 . . . . . 6 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V
6766a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V)
6866prid1 4241 . . . . . . . . 9 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
6968, 59eleqtrri 2687 . . . . . . . 8 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
7069a1i 11 . . . . . . 7 (𝑀𝐵 → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
714, 6, 5zrhpsgnelbas 19759 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
7217, 71mp3an2 1404 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
7370, 72sylan2 490 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
7415, 4, 2, 3, 8m2detleiblem2 20253 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
7569, 74mp3an2 1404 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
7611, 7ringcl 18384 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
7722, 73, 75, 76syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
78 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑘) = ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}))
7978fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})))
80 fveq1 6102 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑘𝑛) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛))
8180oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((𝑘𝑛)𝑀𝑛) = (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))
8281mpteq2dv 4673 . . . . . . . 8 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))
8382oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))
8479, 83oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑘 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
8511, 84gsumsn 18177 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ V ∧ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
8665, 67, 77, 85syl3anc 1318 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
87 prex 4836 . . . . . 6 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V
8887a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V)
8987prid2 4242 . . . . . . . . 9 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
9089, 59eleqtrri 2687 . . . . . . . 8 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
9190a1i 11 . . . . . . 7 (𝑀𝐵 → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
924, 6, 5zrhpsgnelbas 19759 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
9317, 92mp3an2 1404 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
9491, 93sylan2 490 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅))
9515, 4, 2, 3, 8m2detleiblem2 20253 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
9690, 95mp3an2 1404 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
9711, 7ringcl 18384 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
9822, 94, 96, 97syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
99 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑘) = ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
10099fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) = ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})))
101 fveq1 6102 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑘𝑛) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛))
102101oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((𝑘𝑛)𝑀𝑛) = (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))
103102mpteq2dv 4673 . . . . . . . 8 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)) = (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))
104103oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))
105100, 104oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑘 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
10611, 105gsumsn 18177 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V ∧ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
10765, 88, 98, 106syl3anc 1318 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛)))))) = (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))))
10886, 107oveq12d 6567 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))))))) = ((((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))(+g𝑅)(((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))))
109 eqidd 2611 . . . . . . 7 (𝑀𝐵 → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
110 eqid 2610 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
11115, 4, 5, 6, 110m2detleiblem5 20250 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) = (1r𝑅))
112109, 111sylan2 490 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) = (1r𝑅))
113 eqidd 2611 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
1148, 7mgpplusg 18316 . . . . . . . 8 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
11515, 4, 2, 3, 8, 114m2detleiblem3 20254 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
11622, 113, 28, 115syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
117112, 116oveq12d 6567 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) = ((1r𝑅) · ((1𝑀1) · (2𝑀2))))
11843prid1 4241 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {1, 2}
119118, 15eleqtrri 2687 . . . . . . . . 9 1 ∈ 𝑁
120119a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 1 ∈ 𝑁)
1213eleq2i 2680 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
122121biimpi 205 . . . . . . . . 9 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
123122adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
1242, 11matecl 20050 . . . . . . . 8 ((1 ∈ 𝑁 ∧ 1 ∈ 𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (1𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
125120, 120, 123, 124syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (1𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
126 prid2g 4240 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℕ → 2 ∈ {1, 2})
12757, 126ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {1, 2}
128127, 15eleqtrri 2687 . . . . . . . . 9 2 ∈ 𝑁
129128a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 2 ∈ 𝑁)
1302, 11matecl 20050 . . . . . . . 8 ((2 ∈ 𝑁 ∧ 2 ∈ 𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (2𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
131129, 129, 123, 130syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (2𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
13211, 7ringcl 18384 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1𝑀1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (2𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
13322, 125, 131, 132syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
13411, 7, 110ringlidm 18394 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅) · ((1𝑀1) · (2𝑀2))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
135133, 134syldan 486 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((1r𝑅) · ((1𝑀1) · (2𝑀2))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
136117, 135eqtrd 2644 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) = ((1𝑀1) · (2𝑀2)))
137 eqidd 2611 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
138 eqid 2610 . . . . . . 7 (invg𝑅) = (invg𝑅)
13915, 4, 5, 6, 110, 138m2detleiblem6 20251 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
140137, 139sylan2 490 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
141 eqidd 2611 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
14215, 4, 2, 3, 8, 114m2detleiblem4 20255 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((2𝑀1) · (1𝑀2)))
14322, 141, 28, 142syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))) = ((2𝑀1) · (1𝑀2)))
144140, 143oveq12d 6567 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛)))) = (((invg𝑅)‘(1r𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
145136, 144oveq12d 6567 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))(+g𝑅)(((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}‘𝑛)𝑀𝑛))))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2))(+g𝑅)(((invg𝑅)‘(1r𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2)))))
1462, 11matecl 20050 . . . . . 6 ((2 ∈ 𝑁 ∧ 1 ∈ 𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (2𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
147129, 120, 123, 146syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (2𝑀1) ∈ (Base‘𝑅))
1482, 11matecl 20050 . . . . . 6 ((1 ∈ 𝑁 ∧ 2 ∈ 𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (1𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
149120, 129, 123, 148syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (1𝑀2) ∈ (Base‘𝑅))
15011, 7ringcl 18384 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (2𝑀1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1𝑀2) ∈ (Base‘𝑅)) → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
15122, 147, 149, 150syl3anc 1318 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅))
152 m2detleib.m . . . . 5 = (-g𝑅)
15315, 4, 5, 6, 110, 138, 7, 152m2detleiblem7 20252 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1𝑀1) · (2𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((2𝑀1) · (1𝑀2)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((1𝑀1) · (2𝑀2))(+g𝑅)(((invg𝑅)‘(1r𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2)))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
15422, 133, 151, 153syl3anc 1318 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (((1𝑀1) · (2𝑀2))(+g𝑅)(((invg𝑅)‘(1r𝑅)) · ((2𝑀1) · (1𝑀2)))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
155108, 145, 1543eqtrd 2648 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑘 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘((pmSgn‘𝑁)‘𝑘)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑘𝑛)𝑀𝑛))))))) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
15610, 63, 1553eqtrd 2648 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝐷𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173  cun 3538  cin 3539  c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  cop 4131  cmpt 4643  cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  1c1 9816  cn 10897  2c2 10947  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769   Σg cgsu 15924  Mndcmnd 17117  invgcminusg 17246  -gcsg 17247  SymGrpcsymg 17620  pmSgncpsgn 17732  CMndccmn 18016  mulGrpcmgp 18312  1rcur 18324  Ringcrg 18370  ℤRHomczrh 19667   Mat cmat 20032   maDet cmdat 20209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-xor 1457  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-reverse 13160  df-s2 13444  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-symg 17621  df-pmtr 17685  df-psgn 17734  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mat 20033  df-mdet 20210
This theorem is referenced by:  lmat22det  29216
  Copyright terms: Public domain W3C validator