Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmunitinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmunitinv 29153
 Description: Ring homomorphisms preserve the inverse of unit elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
rhmunitinv ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)))

Proof of Theorem rhmunitinv
StepHypRef Expression
1 rhmrcl1 18542 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2610 . . . . . . 7 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3 eqid 2610 . . . . . . 7 (invr𝑅) = (invr𝑅)
4 eqid 2610 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2610 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
62, 3, 4, 5unitlinv 18500 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴) = (1r𝑅))
71, 6sylan 487 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴) = (1r𝑅))
87fveq2d 6107 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴)) = (𝐹‘(1r𝑅)))
9 simpl 472 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
10 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1110, 2unitss 18483 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)
122, 3unitinvcl 18497 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅))
131, 12sylan 487 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅))
1411, 13sseldi 3566 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
15 simpr 476 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
1611, 15sseldi 3566 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
17 eqid 2610 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
1810, 4, 17rhmmul 18550 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
199, 14, 16, 18syl3anc 1318 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr𝑅)‘𝐴)(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
20 eqid 2610 . . . . . 6 (1r𝑆) = (1r𝑆)
215, 20rhm1 18553 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
2221adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
238, 19, 223eqtr3d 2652 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (1r𝑆))
24 rhmrcl2 18543 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
2524adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
26 elrhmunit 29151 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))
27 eqid 2610 . . . . 5 (Unit‘𝑆) = (Unit‘𝑆)
28 eqid 2610 . . . . 5 (invr𝑆) = (invr𝑆)
2927, 28, 17, 20unitlinv 18500 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆)) → (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (1r𝑆))
3025, 26, 29syl2anc 691 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (1r𝑆))
3123, 30eqtr4d 2647 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
32 eqid 2610 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) = ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆))
3327, 32unitgrp 18490 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
3424, 33syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
3534adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp)
36 elrhmunit 29151 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr𝑅)‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
3713, 36syldan 486 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
3827, 28unitinvcl 18497 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆)) → ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
3925, 26, 38syl2anc 691 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆))
4027, 32unitgrpbas 18489 . . . 4 (Unit‘𝑆) = (Base‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)))
41 fvex 6113 . . . . 5 (Unit‘𝑆) ∈ V
42 eqid 2610 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
4342, 17mgpplusg 18316 . . . . . 6 (.r𝑆) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
4432, 43ressplusg 15818 . . . . 5 ((Unit‘𝑆) ∈ V → (.r𝑆) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆))))
4541, 44ax-mp 5 . . . 4 (.r𝑆) = (+g‘((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)))
4640, 45grprcan 17278 . . 3 ((((mulGrp‘𝑆) ↾s (Unit‘𝑆)) ∈ Grp ∧ ((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆) ∧ ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)) ∈ (Unit‘𝑆) ∧ (𝐹𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))) → (((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ↔ (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))))
4735, 37, 39, 26, 46syl13anc 1320 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ↔ (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴))))
4831, 47mpbid 221 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝐴)) = ((invr𝑆)‘(𝐹𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Grpcgrp 17245  mulGrpcmgp 18312  1rcur 18324  Ringcrg 18370  Unitcui 18462  invrcinvr 18494   RingHom crh 18535 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-rnghom 18538 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator