Theorem drngmcl 18583

Description: The product of two nonzero elements of a division ring is nonzero. (Contributed by NM, 7-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drngmcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngmcl	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem drngmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngmcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		drngmcl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		eqid 2610	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
4	1, 2, 3	drngmgp 18582	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
5		difss 3699	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
6		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
7	6, 1	mgpbas 18318	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
8	3, 7	ressbas2 15758	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
9	5, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
10		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
11	1, 10	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
12		difexg 4735	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
13		drngmcl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	6, 13	mgpplusg 18316	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
15	3, 14	ressplusg 15818	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
16	11, 12, 15	mp2b 10	. . 3 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
17	9, 16	grpcl 17253	. 2 ⊢ ((((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
18	4, 17	syl3an1 1351	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  +_gcplusg 15768  ._rcmulr 15769  0_gc0g 15923  Grpcgrp 17245  mulGrpcmgp 18312  DivRingcdr 18570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572

This theorem is referenced by:  abvtriv  18664