MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvtriv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvtriv 18664
Description: The trivial absolute value. (This theorem is true as long as 𝑅 is a domain, but it is not true for rings with zero divisors, which violate the multiplication axiom; abvdom 18661 is the converse of this remark.) (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvtriv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvtriv.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvtriv.z 0 = (0g𝑅)
abvtriv.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
Assertion
Ref Expression
abvtriv (𝑅 ∈ DivRing → 𝐹𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝑅   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem abvtriv
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvtriv.a . 2 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2 abvtriv.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 abvtriv.z . 2 0 = (0g𝑅)
4 abvtriv.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
5 eqid 2610 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 drngring 18577 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
7 biid 250 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing)
8 eldifsn 4260 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦𝐵𝑦0 ))
9 eldifsn 4260 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑧𝐵𝑧0 ))
102, 5, 3drngmcl 18583 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
117, 8, 9, 10syl3anbr 1362 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
12 eldifsn 4260 . . . 4 ((𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ 0 ))
1311, 12sylib 207 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ((𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ 0 ))
1413simprd 478 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ 0 )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 14abvtrivd 18663 1 (𝑅 ∈ DivRing → 𝐹𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  cdif 3537  ifcif 4036  {csn 4125  cmpt 4643  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  DivRingcdr 18570  AbsValcabv 18639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ico 12052  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-abv 18640
This theorem is referenced by:  ostth1  25122  ostth  25128
  Copyright terms: Public domain W3C validator