MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpcl 17253
Description: Closure of the operation of a group. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpcl ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpcl
StepHypRef Expression
1 grpmnd 17252 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2 grpcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grpcl.p . . 3 + = (+g𝐺)
42, 3mndcl 17124 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
51, 4syl3an1 1351 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Mndcmnd 17117  Grpcgrp 17245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-nul 4717
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248
This theorem is referenced by:  grprcan  17278  grprinv  17292  grplmulf1o  17312  grpinvadd  17316  grpsubf  17317  grpsubadd  17326  grpaddsubass  17328  grpnpcan  17330  grpsubsub4  17331  grppnpcan2  17332  dfgrp3  17337  grplactcnv  17341  imasgrp  17354  mulgcl  17382  mulgaddcomlem  17386  mulgdir  17396  subgcl  17427  grpissubg  17437  nsgacs  17453  nmzsubg  17458  nsgid  17463  eqger  17467  eqgcpbl  17471  qusgrp  17472  qusadd  17474  ghmrn  17496  idghm  17498  ghmpreima  17505  ghmnsgima  17507  ghmnsgpreima  17508  ghmf1o  17513  conjghm  17514  conjnmz  17517  qusghm  17520  gaid  17555  subgga  17556  gass  17557  gaorber  17564  gastacl  17565  gastacos  17566  cntzsubg  17592  galactghm  17646  lactghmga  17647  symgsssg  17710  symgfisg  17711  symggen  17713  sylow1lem2  17837  sylow2blem1  17858  sylow2blem2  17859  sylow2blem3  17860  sylow3lem1  17865  sylow3lem2  17866  subgdisj1  17927  ablsub4  18041  abladdsub4  18042  mulgdi  18055  mulgghm  18057  invghm  18062  ghmplusg  18072  odadd1  18074  odadd2  18075  odadd  18076  gex2abl  18077  gexexlem  18078  torsubg  18080  oddvdssubg  18081  frgpnabllem2  18100  ringacl  18401  ringpropd  18405  drngmcl  18583  abvtrivd  18663  idsrngd  18685  lmodacl  18697  lmodvacl  18700  lmodprop2d  18748  prdslmodd  18790  pwssplit2  18881  asclghm  19159  psraddcl  19204  mplind  19323  evlslem1  19336  evl1addd  19526  evpmodpmf1o  19761  scmataddcl  20141  mdetralt  20233  mdetunilem6  20242  opnsubg  21721  ghmcnp  21728  qustgpopn  21733  ngprcan  22224  ngpocelbl  22318  nmotri  22353  ncvspi  22764  cphipval2  22848  4cphipval2  22849  cphipval  22850  efsubm  24101  abvcxp  25104  ttgcontlem1  25565  abliso  29027  ogrpaddltbi  29050  ogrpaddltrbid  29052  ogrpinvlt  29055  archiabllem2a  29079  archiabllem2c  29080  archiabllem2b  29081  dvrdir  29121  matunitlindflem1  32575  gicabl  36687  isnumbasgrplem2  36693  mendlmod  36782
  Copyright terms: Public domain W3C validator