MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngmcl Structured version   Unicode version

Theorem drngmcl 17387
Description: The product of two nonzero elements of a division ring is nonzero. (Contributed by NM, 7-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
drngmcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
drngmcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
drngmcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
drngmcl  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  Y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( X  .x.  Y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )

Proof of Theorem drngmcl
StepHypRef Expression
1 drngmcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 drngmcl.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) )  =  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) )
41, 2, 3drngmgp 17386 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) )  e.  Grp )
5 difss 3616 . . . 4  |-  ( B 
\  {  .0.  }
)  C_  B
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
76, 1mgpbas 17125 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
83, 7ressbas2 14669 . . . 4  |-  ( ( B  \  {  .0.  } )  C_  B  ->  ( B  \  {  .0.  } )  =  ( Base `  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) ) ) )
95, 8ax-mp 5 . . 3  |-  ( B 
\  {  .0.  }
)  =  ( Base `  ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
10 fvex 5866 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
111, 10eqeltri 2527 . . . 4  |-  B  e. 
_V
12 difexg 4585 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  {  .0.  }
)  e.  _V )
13 drngmcl.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
146, 13mgpplusg 17123 . . . . 5  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
153, 14ressplusg 14720 . . . 4  |-  ( ( B  \  {  .0.  } )  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  (
(mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  }
) ) ) )
1611, 12, 15mp2b 10 . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  ( (mulGrp `  R )s  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
179, 16grpcl 16041 . 2  |-  ( ( ( (mulGrp `  R
)s  ( B  \  {  .0.  } ) )  e. 
Grp  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  Y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( X  .x.  Y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )
184, 17syl3an1 1262 1  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  X  e.  ( B  \  {  .0.  } )  /\  Y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( X  .x.  Y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4014   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14613   ↾s cress 14614   +g cplusg 14678   .rcmulr 14679   0gc0g 14818   Grpcgrp 16031  mulGrpcmgp 17119   DivRingcdr 17374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-0g 14820  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-mgp 17120  df-ur 17132  df-ring 17178  df-oppr 17250  df-dvdsr 17268  df-unit 17269  df-invr 17299  df-dvr 17310  df-drng 17376
This theorem is referenced by:  abvtriv  17468
  Copyright terms: Public domain W3C validator