Theorem dchrelbas3 24763

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of ℂ, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrelbas3	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem dchrelbas3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrval.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
4		dchrval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5		dchrval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		dchrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dchrelbas2 24762	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
8		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑋‘𝑧) = (𝑋‘𝑥))
9	8	neeq1d 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝑥) ≠ 0))
10		eleq1 2676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ 𝑈))
11	9, 10	imbi12d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
12	11	cbvralv 3147	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
13	5	nnnn0d 11228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	2	zncrng 19712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ CRing)
16		crngring 18381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
18		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
19	18	ringmgp 18376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd)
20	17, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd)
21		cnring 19587	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ Ring
22		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
23	22	ringmgp 18376	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
24	21, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
25	18, 3	mgpbas 18318	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
26		cnfldbas 19571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
27	22, 26	mgpbas 18318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
28		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑍) = (.r‘𝑍)
29	18, 28	mgpplusg 18316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
30		cnfldmul 19573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
31	22, 30	mgpplusg 18316	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
32		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
33	18, 32	ringidval 18326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
34		cnfld1 19590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
35	22, 34	ringidval 18326	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
36	25, 27, 29, 31, 33, 35	ismhm 17160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (((mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd) ∧ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)))
37	36	baib 942	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑍) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)))
38	20, 24, 37	sylancl 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)))
39	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)))
40		biimt 349	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
42	17	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ Ring)
43		simprl 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
44		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
45	3, 28	ringcl 18384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝐵)
46	42, 43, 44, 45	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝐵)
47		simpllr 795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈))
48		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (𝑋‘𝑧) = (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)))
49	48	neeq1d 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) ≠ 0))
50		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈))
51	49, 50	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) → (((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) ≠ 0 → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)))
52	51	rspcv 3278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝐵 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) ≠ 0 → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)))
53	46, 47, 52	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) ≠ 0 → (𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈))
54	15	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ CRing)
55	4, 28, 3	unitmulclb 18488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑍 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
56	54, 43, 44, 55	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑍)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
57	53, 56	sylibd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) ≠ 0 → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
58	57	necon1bd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = 0))
59	58	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = 0)
60	11	rspcv 3278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
61	43, 47, 60	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))
62		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑋‘𝑧) = (𝑋‘𝑦))
63	62	neeq1d 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 ↔ (𝑋‘𝑦) ≠ 0))
64		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑈 ↔ 𝑦 ∈ 𝑈))
65	63, 64	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ 𝑈)))
66	65	rspcv 3278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ 𝑈)))
67	44, 47, 66	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘𝑦) ≠ 0 → 𝑦 ∈ 𝑈))
68	61, 67	anim12d 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋‘𝑦) ≠ 0) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
69	68	con3dimp 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ¬ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋‘𝑦) ≠ 0))
70		neanior 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋‘𝑦) ≠ 0) ↔ ¬ ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0))
71	70	con2bii 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0) ↔ ¬ ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑋‘𝑦) ≠ 0))
72	69, 71	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0))
73		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
74	73, 43	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
75	73, 44	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑋‘𝑦) ∈ ℂ)
76	74, 75	mul0ord 10556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) = 0 ↔ ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0)))
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) = 0 ↔ ((𝑋‘𝑥) = 0 ∨ (𝑋‘𝑦) = 0)))
78	72, 77	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) = 0)
79	59, 78	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))
80	79	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
81	79, 80	2thd 254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
82	41, 81	pm2.61dan 828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
83	82	pm5.74da 719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))))
84	3, 4	unitcl 18482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵)
85	3, 4	unitcl 18482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ 𝐵)
86	84, 85	anim12i 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
87	86	pm4.71ri 663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)))
88	87	imbi1i 338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
89		impexp 461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
90	88, 89	bitri 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
91	83, 90	syl6bbr 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
92	91	2albidv 1838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
93		r2al 2923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
94		r2al 2923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
95	92, 93, 94	3bitr4g 302	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
96	95	adantrr 749	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
97	96	pm5.32da 671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) → (((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))) ↔ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)))))
98		3anan32 1043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ↔ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
99		an31 837	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ) ↔ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦))))
100	97, 98, 99	3bitr4g 302	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) → ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
101	39, 100	bitrd 267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑧) ≠ 0 → 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
102	12, 101	sylan2br 492	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
103	102	pm5.32da 671	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ))))
104		ancom 465	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))))
105		df-3an 1033	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))
106	105	anbi2i 726	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))))
107		an13 836	. . . 4 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
108	106, 107	bitri 263	. . 3 ⊢ ((𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ ((∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1) ∧ 𝑋:𝐵⟶ℂ)))
109	103, 104, 108	3bitr4g 302	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)) ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))))
110	7, 109	bitrd 267	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:𝐵⟶ℂ ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑋‘(𝑥(.r‘𝑍)𝑦)) = ((𝑋‘𝑥) · (𝑋‘𝑦)) ∧ (𝑋‘(1r‘𝑍)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑥) ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝑈)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∀wal 1473   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  Basecbs 15695  ._rcmulr 15769  Mndcmnd 17117   MndHom cmhm 17156  mulGrpcmgp 18312  1_rcur 18324  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  Unitcui 18462  ℂ_fldccnfld 19567  ℤ/nℤczn 19670  DChrcdchr 24757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zn 19674  df-dchr 24758

This theorem is referenced by:  dchrelbasd  24764  dchrf  24767  dchrmulcl  24774  dchrinv  24786  lgsdchr  24880