Theorem dchrelbas3 20975

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of CC, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	|- G = (DChr ` N )
dchrval.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
dchrval.b	|- B = ( Base ` Z )
dchrval.u	|- U = (Unit ` Z )
dchrval.n	|- ( ph -> N e. NN )
dchrbas.b	|- D = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
dchrelbas3	|- ( ph -> ( X e. D <-> ( X : B --> CC /\ ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, N   x, U, y   ph, x, y   x, X, y   x, Z, y

Allowed substitution hints:   D( x, y)   G( x, y)   N( y)

Proof of Theorem dchrelbas3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrval.g	. . 3 |- G = (DChr ` N )
2		dchrval.z	. . 3 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
3		dchrval.b	. . 3 |- B = ( Base ` Z )
4		dchrval.u	. . 3 |- U = (Unit ` Z )
5		dchrval.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
6		dchrbas.b	. . 3 |- D = ( Base ` G )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dchrelbas2 20974	. 2 |- ( ph -> ( X e. D <-> ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) ) )
8		fveq2 5687	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( X ` z ) = ( X ` x ) )
9	8	neeq1d 2580	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( ( X ` z ) =/= 0 <-> ( X ` x ) =/= 0 ) )
10		eleq1 2464	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( z e. U <-> x e. U ) )
11	9, 10	imbi12d 312	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) <-> ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) )
12	11	cbvralv 2892	. . . . 5 |- ( A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) <-> A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) )
13	5	nnnn0d 10230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN0 )
14	2	zncrng 16780	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> Z e. CRing )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z e. CRing )
16		crngrng 15629	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. CRing -> Z e. Ring )
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z e. Ring )
18		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- (mulGrp ` Z ) = (mulGrp ` Z )
19	18	rngmgp 15625	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. Ring -> (mulGrp ` Z ) e. Mnd )
20	17, 19	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (mulGrp ` Z ) e. Mnd )
21		cnrng 16678	. . . . . . . . 9 |- ℂfld e. Ring
22		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
23	22	rngmgp 15625	. . . . . . . . 9 |- (ℂfld e. Ring -> (mulGrp ` ℂfld ) e. Mnd )
24	21, 23	ax-mp 8	. . . . . . . 8 |- (mulGrp ` ℂfld ) e. Mnd
25	18, 3	mgpbas 15609	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` (mulGrp ` Z ) )
26		cnfldbas 16662	. . . . . . . . . . 11 |- CC = ( Base ` ℂfld )
27	22, 26	mgpbas 15609	. . . . . . . . . 10 |- CC = ( Base ` (mulGrp ` ℂfld ) )
28		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` Z ) = ( .r ` Z )
29	18, 28	mgpplusg 15607	. . . . . . . . . 10 |- ( .r ` Z ) = ( +g ` (mulGrp ` Z ) )
30		cnfldmul 16664	. . . . . . . . . . 11 |- x. = ( .r ` ℂfld )
31	22, 30	mgpplusg 15607	. . . . . . . . . 10 |- x. = ( +g ` (mulGrp ` ℂfld ) )
32		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1r ` Z ) = ( 1r ` Z )
33	18, 32	rngidval 15621	. . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` Z ) = ( 0g ` (mulGrp ` Z ) )
34		cnfld1 16681	. . . . . . . . . . 11 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
35	22, 34	rngidval 15621	. . . . . . . . . 10 |- 1 = ( 0g ` (mulGrp ` ℂfld ) )
36	25, 27, 29, 31, 33, 35	ismhm 14695	. . . . . . . . 9 |- ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) <-> ( ( (mulGrp ` Z ) e. Mnd /\ (mulGrp ` ℂfld ) e. Mnd ) /\ ( X : B --> CC /\ A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) ) )
37	36	baib 872	. . . . . . . 8 |- ( ( (mulGrp ` Z ) e. Mnd /\ (mulGrp ` ℂfld ) e. Mnd ) -> ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) <-> ( X : B --> CC /\ A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) ) )
38	20, 24, 37	sylancl 644	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) <-> ( X : B --> CC /\ A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) ) )
39	38	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) -> ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) <-> ( X : B --> CC /\ A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) ) )
40		biimt 326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) <-> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) )
41	40	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) <-> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) )
42	17	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> Z e. Ring )
43		simprl 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
44		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
45	3, 28	rngcl 15632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Z e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( .r ` Z ) y ) e. B )
46	42, 43, 44, 45	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` Z ) y ) e. B )
47		simpllr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) )
48		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( x ( .r ` Z ) y ) -> ( X ` z ) = ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) )
49	48	neeq1d 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( x ( .r ` Z ) y ) -> ( ( X ` z ) =/= 0 <-> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) =/= 0 ) )
50		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( x ( .r ` Z ) y ) -> ( z e. U <-> ( x ( .r ` Z ) y ) e. U ) )
51	49, 50	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( x ( .r ` Z ) y ) -> ( ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) <-> ( ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) =/= 0 -> ( x ( .r ` Z ) y ) e. U ) ) )
52	51	rspcv 3008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x ( .r ` Z ) y ) e. B -> ( A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) -> ( ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) =/= 0 -> ( x ( .r ` Z ) y ) e. U ) ) )
53	46, 47, 52	sylc 58	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) =/= 0 -> ( x ( .r ` Z ) y ) e. U ) )
54	15	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> Z e. CRing )
55	4, 28, 3	unitmulclb 15725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Z e. CRing /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x ( .r ` Z ) y ) e. U <-> ( x e. U /\ y e. U ) ) )
56	54, 43, 44, 55	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x ( .r ` Z ) y ) e. U <-> ( x e. U /\ y e. U ) ) )
57	53, 56	sylibd 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) =/= 0 -> ( x e. U /\ y e. U ) ) )
58	57	necon1bd 2635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( -. ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = 0 ) )
59	58	imp 419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ -. ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = 0 )
60	11	rspcv 3008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. B -> ( A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) -> ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) )
61	43, 47, 60	sylc 58	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) )
62		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z = y -> ( X ` z ) = ( X ` y ) )
63	62	neeq1d 2580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = y -> ( ( X ` z ) =/= 0 <-> ( X ` y ) =/= 0 ) )
64		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = y -> ( z e. U <-> y e. U ) )
65	63, 64	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = y -> ( ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) <-> ( ( X ` y ) =/= 0 -> y e. U ) ) )
66	65	rspcv 3008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. B -> ( A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) -> ( ( X ` y ) =/= 0 -> y e. U ) ) )
67	44, 47, 66	sylc 58	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X ` y ) =/= 0 -> y e. U ) )
68	61, 67	anim12d 547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( X ` x ) =/= 0 /\ ( X ` y ) =/= 0 ) -> ( x e. U /\ y e. U ) ) )
69	68	con3and 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ -. ( x e. U /\ y e. U ) ) -> -. ( ( X ` x ) =/= 0 /\ ( X ` y ) =/= 0 ) )
70		neanior 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( X ` x ) =/= 0 /\ ( X ` y ) =/= 0 ) <-> -. ( ( X ` x ) = 0 \/ ( X ` y ) = 0 ) )
71	70	con2bii 323	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X ` x ) = 0 \/ ( X ` y ) = 0 ) <-> -. ( ( X ` x ) =/= 0 /\ ( X ` y ) =/= 0 ) )
72	69, 71	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ -. ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( X ` x ) = 0 \/ ( X ` y ) = 0 ) )
73		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> X : B --> CC )
74	73, 43	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( X ` x ) e. CC )
75	73, 44	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( X ` y ) e. CC )
76	74, 75	mul0ord 9628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) = 0 <-> ( ( X ` x ) = 0 \/ ( X ` y ) = 0 ) ) )
77	76	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ -. ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) = 0 <-> ( ( X ` x ) = 0 \/ ( X ` y ) = 0 ) ) )
78	72, 77	mpbird 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ -. ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) = 0 )
79	59, 78	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ -. ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) )
80	79	a1d 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ -. ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
81	79, 80	2thd 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ -. ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) <-> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) )
82	41, 81	pm2.61dan 767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) <-> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) )
83	82	pm5.74da 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) -> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) ) )
84	3, 4	unitcl 15719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. U -> x e. B )
85	3, 4	unitcl 15719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. U -> y e. B )
86	84, 85	anim12i 550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( x e. B /\ y e. B ) )
87	86	pm4.71ri 615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. U /\ y e. U ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) )
88	87	imbi1i 316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) <-> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
89		impexp 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) )
90	88, 89	bitri 241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) )
91	83, 90	syl6bbr 255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) -> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) <-> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) )
92	91	2albidv 1634	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) -> ( A. x A. y ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) )
93		r2al 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
94		r2al 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
95	92, 93, 94	3bitr4g 280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) <-> A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
96	95	adantrr 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ ( X : B --> CC /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) <-> A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
97	96	pm5.32da 623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) -> ( ( ( X : B --> CC /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) <-> ( ( X : B --> CC /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) )
98		3anan32 948	. . . . . . 7 |- ( ( X : B --> CC /\ A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) <-> ( ( X : B --> CC /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
99		an31 776	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ X : B --> CC ) <-> ( ( X : B --> CC /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
100	97, 98, 99	3bitr4g 280	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) -> ( ( X : B --> CC /\ A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) <-> ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ X : B --> CC ) ) )
101	39, 100	bitrd 245	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) -> ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) <-> ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ X : B --> CC ) ) )
102	12, 101	sylan2br 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) -> ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) <-> ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ X : B --> CC ) ) )
103	102	pm5.32da 623	. . 3 |- ( ph -> ( ( A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) /\ X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) ) <-> ( A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) /\ ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ X : B --> CC ) ) ) )
104		ancom 438	. . 3 |- ( ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) <-> ( A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) /\ X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) ) )
105		df-3an 938	. . . . 5 |- ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) <-> ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) )
106	105	anbi2i 676	. . . 4 |- ( ( X : B --> CC /\ ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) ) <-> ( X : B --> CC /\ ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) ) )
107		an13 775	. . . 4 |- ( ( X : B --> CC /\ ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) ) <-> ( A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) /\ ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ X : B --> CC ) ) )
108	106, 107	bitri 241	. . 3 |- ( ( X : B --> CC /\ ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) ) <-> ( A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) /\ ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ X : B --> CC ) ) )
109	103, 104, 108	3bitr4g 280	. 2 |- ( ph -> ( ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) <-> ( X : B --> CC /\ ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) ) ) )
110	7, 109	bitrd 245	1 |- ( ph -> ( X e. D <-> ( X : B --> CC /\ ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   /\ w3a 936   A.wal 1546   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947   x. cmul 8951   NNcn 9956   NN0cn0 10177   Basecbs 13424   .rcmulr 13485   Mndcmnd 14639   MndHom cmhm 14691  mulGrpcmgp 15603   Ringcrg 15615   CRingccrg 15616   1rcur 15617  Unitcui 15699  ℂ_fldccnfld 16658  ℤ/nℤczn 16736  DChrcdchr 20969

This theorem is referenced by:  dchrelbasd  20976  dchrf  20979  dchrmulcl  20986  dchrinv  20998  lgsdchr  21085

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-imas 13689  df-divs 13690  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-cnfld 16659  df-zn 16740  df-dchr 20970