Theorem dchrelbas3 23379

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of CC, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	|- G = (DChr ` N )
dchrval.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
dchrval.b	|- B = ( Base ` Z )
dchrval.u	|- U = (Unit ` Z )
dchrval.n	|- ( ph -> N e. NN )
dchrbas.b	|- D = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
dchrelbas3	|- ( ph -> ( X e. D <-> ( X : B --> CC /\ ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, N   x, U, y   ph, x, y   x, X, y   x, Z, y

Allowed substitution hints:   D( x, y)   G( x, y)   N( y)

Proof of Theorem dchrelbas3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrval.g	. . 3 |- G = (DChr ` N )
2		dchrval.z	. . 3 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
3		dchrval.b	. . 3 |- B = ( Base ` Z )
4		dchrval.u	. . 3 |- U = (Unit ` Z )
5		dchrval.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
6		dchrbas.b	. . 3 |- D = ( Base ` G )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dchrelbas2 23378	. 2 |- ( ph -> ( X e. D <-> ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) ) )
8		fveq2 5872	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( X ` z ) = ( X ` x ) )
9	8	neeq1d 2744	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( ( X ` z ) =/= 0 <-> ( X ` x ) =/= 0 ) )
10		eleq1 2539	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( z e. U <-> x e. U ) )
11	9, 10	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) <-> ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) )
12	11	cbvralv 3093	. . . . 5 |- ( A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) <-> A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) )
13	5	nnnn0d 10864	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN0 )
14	2	zncrng 18452	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> Z e. CRing )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z e. CRing )
16		crngring 17081	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. CRing -> Z e. Ring )
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z e. Ring )
18		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- (mulGrp ` Z ) = (mulGrp ` Z )
19	18	ringmgp 17076	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. Ring -> (mulGrp ` Z ) e. Mnd )
20	17, 19	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (mulGrp ` Z ) e. Mnd )
21		cnring 18310	. . . . . . . . 9 |- ℂfld e. Ring
22		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
23	22	ringmgp 17076	. . . . . . . . 9 |- (ℂfld e. Ring -> (mulGrp ` ℂfld ) e. Mnd )
24	21, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (mulGrp ` ℂfld ) e. Mnd
25	18, 3	mgpbas 17019	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` (mulGrp ` Z ) )
26		cnfldbas 18294	. . . . . . . . . . 11 |- CC = ( Base ` ℂfld )
27	22, 26	mgpbas 17019	. . . . . . . . . 10 |- CC = ( Base ` (mulGrp ` ℂfld ) )
28		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` Z ) = ( .r ` Z )
29	18, 28	mgpplusg 17017	. . . . . . . . . 10 |- ( .r ` Z ) = ( +g ` (mulGrp ` Z ) )
30		cnfldmul 18296	. . . . . . . . . . 11 |- x. = ( .r ` ℂfld )
31	22, 30	mgpplusg 17017	. . . . . . . . . 10 |- x. = ( +g ` (mulGrp ` ℂfld ) )
32		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1r ` Z ) = ( 1r ` Z )
33	18, 32	rngidval 17027	. . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` Z ) = ( 0g ` (mulGrp ` Z ) )
34		cnfld1 18313	. . . . . . . . . . 11 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
35	22, 34	rngidval 17027	. . . . . . . . . 10 |- 1 = ( 0g ` (mulGrp ` ℂfld ) )
36	25, 27, 29, 31, 33, 35	ismhm 15841	. . . . . . . . 9 |- ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) <-> ( ( (mulGrp ` Z ) e. Mnd /\ (mulGrp ` ℂfld ) e. Mnd ) /\ ( X : B --> CC /\ A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) ) )
37	36	baib 901	. . . . . . . 8 |- ( ( (mulGrp ` Z ) e. Mnd /\ (mulGrp ` ℂfld ) e. Mnd ) -> ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) <-> ( X : B --> CC /\ A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) ) )
38	20, 24, 37	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) <-> ( X : B --> CC /\ A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) ) )
39	38	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) -> ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) <-> ( X : B --> CC /\ A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) ) )
40		biimt 335	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) <-> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) )
41	40	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) <-> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) )
42	17	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> Z e. Ring )
43		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
44		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
45	3, 28	ringcl 17084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Z e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( .r ` Z ) y ) e. B )
46	42, 43, 44, 45	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` Z ) y ) e. B )
47		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) )
48		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( x ( .r ` Z ) y ) -> ( X ` z ) = ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) )
49	48	neeq1d 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( x ( .r ` Z ) y ) -> ( ( X ` z ) =/= 0 <-> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) =/= 0 ) )
50		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( x ( .r ` Z ) y ) -> ( z e. U <-> ( x ( .r ` Z ) y ) e. U ) )
51	49, 50	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( x ( .r ` Z ) y ) -> ( ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) <-> ( ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) =/= 0 -> ( x ( .r ` Z ) y ) e. U ) ) )
52	51	rspcv 3215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x ( .r ` Z ) y ) e. B -> ( A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) -> ( ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) =/= 0 -> ( x ( .r ` Z ) y ) e. U ) ) )
53	46, 47, 52	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) =/= 0 -> ( x ( .r ` Z ) y ) e. U ) )
54	15	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> Z e. CRing )
55	4, 28, 3	unitmulclb 17186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Z e. CRing /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x ( .r ` Z ) y ) e. U <-> ( x e. U /\ y e. U ) ) )
56	54, 43, 44, 55	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x ( .r ` Z ) y ) e. U <-> ( x e. U /\ y e. U ) ) )
57	53, 56	sylibd 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) =/= 0 -> ( x e. U /\ y e. U ) ) )
58	57	necon1bd 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( -. ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = 0 ) )
59	58	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ -. ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = 0 )
60	11	rspcv 3215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. B -> ( A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) -> ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) )
61	43, 47, 60	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) )
62		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z = y -> ( X ` z ) = ( X ` y ) )
63	62	neeq1d 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = y -> ( ( X ` z ) =/= 0 <-> ( X ` y ) =/= 0 ) )
64		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = y -> ( z e. U <-> y e. U ) )
65	63, 64	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = y -> ( ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) <-> ( ( X ` y ) =/= 0 -> y e. U ) ) )
66	65	rspcv 3215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. B -> ( A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) -> ( ( X ` y ) =/= 0 -> y e. U ) ) )
67	44, 47, 66	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X ` y ) =/= 0 -> y e. U ) )
68	61, 67	anim12d 563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( X ` x ) =/= 0 /\ ( X ` y ) =/= 0 ) -> ( x e. U /\ y e. U ) ) )
69	68	con3dimp 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ -. ( x e. U /\ y e. U ) ) -> -. ( ( X ` x ) =/= 0 /\ ( X ` y ) =/= 0 ) )
70		neanior 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( X ` x ) =/= 0 /\ ( X ` y ) =/= 0 ) <-> -. ( ( X ` x ) = 0 \/ ( X ` y ) = 0 ) )
71	70	con2bii 332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X ` x ) = 0 \/ ( X ` y ) = 0 ) <-> -. ( ( X ` x ) =/= 0 /\ ( X ` y ) =/= 0 ) )
72	69, 71	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ -. ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( X ` x ) = 0 \/ ( X ` y ) = 0 ) )
73		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> X : B --> CC )
74	73, 43	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( X ` x ) e. CC )
75	73, 44	ffvelrnd 6033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( X ` y ) e. CC )
76	74, 75	mul0ord 10211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) = 0 <-> ( ( X ` x ) = 0 \/ ( X ` y ) = 0 ) ) )
77	76	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ -. ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) = 0 <-> ( ( X ` x ) = 0 \/ ( X ` y ) = 0 ) ) )
78	72, 77	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ -. ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) = 0 )
79	59, 78	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ -. ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) )
80	79	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ -. ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
81	79, 80	2thd 240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ -. ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) <-> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) )
82	41, 81	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) <-> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) )
83	82	pm5.74da 687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) -> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) ) )
84	3, 4	unitcl 17180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. U -> x e. B )
85	3, 4	unitcl 17180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. U -> y e. B )
86	84, 85	anim12i 566	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( x e. B /\ y e. B ) )
87	86	pm4.71ri 633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. U /\ y e. U ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) )
88	87	imbi1i 325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) <-> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
89		impexp 446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) )
90	88, 89	bitri 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) <-> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) )
91	83, 90	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) -> ( ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) <-> ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) )
92	91	2albidv 1691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) -> ( A. x A. y ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) )
93		r2al 2845	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
94		r2al 2845	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. U /\ y e. U ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
95	92, 93, 94	3bitr4g 288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ X : B --> CC ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) <-> A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
96	95	adantrr 716	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) /\ ( X : B --> CC /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) <-> A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
97	96	pm5.32da 641	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) -> ( ( ( X : B --> CC /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) <-> ( ( X : B --> CC /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) ) )
98		3anan32 985	. . . . . . 7 |- ( ( X : B --> CC /\ A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) <-> ( ( X : B --> CC /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
99		an31 798	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ X : B --> CC ) <-> ( ( X : B --> CC /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
100	97, 98, 99	3bitr4g 288	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) -> ( ( X : B --> CC /\ A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) <-> ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ X : B --> CC ) ) )
101	39, 100	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. B ( ( X ` z ) =/= 0 -> z e. U ) ) -> ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) <-> ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ X : B --> CC ) ) )
102	12, 101	sylan2br 476	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) -> ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) <-> ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ X : B --> CC ) ) )
103	102	pm5.32da 641	. . 3 |- ( ph -> ( ( A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) /\ X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) ) <-> ( A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) /\ ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ X : B --> CC ) ) ) )
104		ancom 450	. . 3 |- ( ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) <-> ( A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) /\ X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) ) )
105		df-3an 975	. . . . 5 |- ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) <-> ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) )
106	105	anbi2i 694	. . . 4 |- ( ( X : B --> CC /\ ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) ) <-> ( X : B --> CC /\ ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) ) )
107		an13 797	. . . 4 |- ( ( X : B --> CC /\ ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) ) <-> ( A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) /\ ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ X : B --> CC ) ) )
108	106, 107	bitri 249	. . 3 |- ( ( X : B --> CC /\ ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) ) <-> ( A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) /\ ( ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 ) /\ X : B --> CC ) ) )
109	103, 104, 108	3bitr4g 288	. 2 |- ( ph -> ( ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) <-> ( X : B --> CC /\ ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) ) ) )
110	7, 109	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( X e. D <-> ( X : B --> CC /\ ( A. x e. U A. y e. U ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. U ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1377   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505   x. cmul 9509   NNcn 10548   NN0cn0 10807   Basecbs 14507   .rcmulr 14573   Mndcmnd 15793   MndHom cmhm 15837  mulGrpcmgp 17013   1rcur 17025   Ringcrg 17070   CRingccrg 17071  Unitcui 17160  ℂ_fldccnfld 18290  ℤ/nℤczn 18409  DChrcdchr 23373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-addf 9583  ax-mulf 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-ec 7325  df-qs 7329  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-0g 14714  df-imas 14780  df-qus 14781  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-nsg 16071  df-eqg 16072  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-lidl 17691  df-rsp 17692  df-2idl 17750  df-cnfld 18291  df-zring 18359  df-zn 18413  df-dchr 23374

This theorem is referenced by:  dchrelbasd  23380  dchrf  23383  dchrmulcl  23390  dchrinv  23402  lgsdchr  23489