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Theorem dchrelbas3 23630
Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of  CC, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrval.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrval.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrval.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrval.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrbas.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
dchrelbas3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, N    x, U, y    ph, x, y    x, X, y    x, Z, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)    G( x, y)    N( y)

Proof of Theorem dchrelbas3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrval.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrval.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
4 dchrval.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  Z )
5 dchrval.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6 dchrbas.b . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrelbas2 23629 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) ) )
8 fveq2 5774 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( X `  z )  =  ( X `  x ) )
98neeq1d 2659 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( X `  z
)  =/=  0  <->  ( X `  x )  =/=  0 ) )
10 eleq1 2454 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  U  <->  x  e.  U ) )
119, 10imbi12d 318 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  <-> 
( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )
1211cbvralv 3009 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U )  <->  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )
135nnnn0d 10769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
142zncrng 18674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  CRing )
16 crngring 17322 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
18 eqid 2382 . . . . . . . . . 10  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
1918ringmgp 17317 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  e.  Ring  ->  (mulGrp `  Z )  e.  Mnd )
2017, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  Z )  e.  Mnd )
21 cnring 18553 . . . . . . . . 9  |-fld  e.  Ring
22 eqid 2382 . . . . . . . . . 10  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
2322ringmgp 17317 . . . . . . . . 9  |-  (fld  e.  Ring  -> 
(mulGrp ` fld )  e.  Mnd )
2421, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  (mulGrp ` fld )  e.  Mnd
2518, 3mgpbas 17260 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  Z ) )
26 cnfldbas 18537 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2722, 26mgpbas 17260 . . . . . . . . . 10  |-  CC  =  ( Base `  (mulGrp ` fld ) )
28 eqid 2382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
2918, 28mgpplusg 17258 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  (mulGrp `  Z ) )
30 cnfldmul 18539 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  =  ( .r ` fld )
3122, 30mgpplusg 17258 . . . . . . . . . 10  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
32 eqid 2382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
3318, 32ringidval 17268 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Z ) )
34 cnfld1 18556 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =  ( 1r ` fld )
3522, 34ringidval 17268 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 0g `  (mulGrp ` fld ) )
3625, 27, 29, 31, 33, 35ismhm 16085 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( (
(mulGrp `  Z )  e.  Mnd  /\  (mulGrp ` fld )  e.  Mnd )  /\  ( X : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 ) ) )
3736baib 901 . . . . . . . 8  |-  ( ( (mulGrp `  Z )  e.  Mnd  /\  (mulGrp ` fld )  e.  Mnd )  ->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  <->  ( X : B
--> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 ) ) )
3820, 24, 37sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( X : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 ) ) )
3938adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( X : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 ) ) )
40 biimt 333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  <-> 
( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) )
4140adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  <-> 
( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) )
4217ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  Z  e.  Ring )
43 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
44 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
453, 28ringcl 17325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x ( .r `  Z ) y )  e.  B )
4642, 43, 44, 45syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .r `  Z
) y )  e.  B )
47 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )
48 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  ( X `  z )  =  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) ) )
4948neeq1d 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  (
( X `  z
)  =/=  0  <->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =/=  0 ) )
50 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  (
z  e.  U  <->  ( x
( .r `  Z
) y )  e.  U ) )
5149, 50imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  (
( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  <-> 
( ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =/=  0  ->  ( x ( .r
`  Z ) y )  e.  U ) ) )
5251rspcv 3131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x ( .r `  Z ) y )  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  ->  ( ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  =/=  0  ->  ( x
( .r `  Z
) y )  e.  U ) ) )
5346, 47, 52sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =/=  0  ->  (
x ( .r `  Z ) y )  e.  U ) )
5415ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  Z  e.  CRing
)
554, 28, 3unitmulclb 17427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Z  e.  CRing  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x ( .r
`  Z ) y )  e.  U  <->  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) )
5654, 43, 44, 55syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x ( .r `  Z ) y )  e.  U  <->  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) )
5753, 56sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =/=  0  ->  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
) )
5857necon1bd 2600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( -.  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  0 ) )
5958imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  0 )
6011rspcv 3131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  ->  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )
6143, 47, 60sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )
62 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  =  y  ->  ( X `  z )  =  ( X `  y ) )
6362neeq1d 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  y  ->  (
( X `  z
)  =/=  0  <->  ( X `  y )  =/=  0 ) )
64 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  U  <->  y  e.  U ) )
6563, 64imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  <-> 
( ( X `  y )  =/=  0  ->  y  e.  U ) ) )
6665rspcv 3131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  ->  ( ( X `
 y )  =/=  0  ->  y  e.  U ) ) )
6744, 47, 66sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  y )  =/=  0  ->  y  e.  U ) )
6861, 67anim12d 561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
( X `  x
)  =/=  0  /\  ( X `  y
)  =/=  0 )  ->  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) )
6968con3dimp 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  -.  (
( X `  x
)  =/=  0  /\  ( X `  y
)  =/=  0 ) )
70 neanior 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X `  x
)  =/=  0  /\  ( X `  y
)  =/=  0 )  <->  -.  ( ( X `  x )  =  0  \/  ( X `  y )  =  0 ) )
7170con2bii 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X `  x
)  =  0  \/  ( X `  y
)  =  0 )  <->  -.  ( ( X `  x )  =/=  0  /\  ( X `  y
)  =/=  0 ) )
7269, 71sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( ( X `  x )  =  0  \/  ( X `  y )  =  0 ) )
73 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  X : B
--> CC )
7473, 43ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( X `  x )  e.  CC )
7573, 44ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( X `  y )  e.  CC )
7674, 75mul0ord 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  =  0  <->  ( ( X `  x )  =  0  \/  ( X `  y )  =  0 ) ) )
7776adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( (
( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  =  0  <->  ( ( X `  x )  =  0  \/  ( X `  y )  =  0 ) ) )
7872, 77mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y
) )  =  0 )
7959, 78eqtr4d 2426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )
8079a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( (
x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) )
8179, 802thd 240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  <->  ( (
x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) ) )
8241, 81pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  <->  ( (
x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) ) )
8382pm5.74da 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  ->  (
( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) ) )
843, 4unitcl 17421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  U  ->  x  e.  B )
853, 4unitcl 17421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  U  ->  y  e.  B )
8684, 85anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )
8786pm4.71ri 631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  <->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) )
8887imbi1i 323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )  <->  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
89 impexp 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )  <->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  e.  U  /\  y  e.  U
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) ) )
9088, 89bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )  <->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  e.  U  /\  y  e.  U
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) ) )
9183, 90syl6bbr 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  ->  (
( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) )  <->  ( (
x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) ) )
92912albidv 1723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  ->  ( A. x A. y ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )  <->  A. x A. y
( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) )
93 r2al 2760 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
94 r2al 2760 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
9592, 93, 943bitr4g 288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  <->  A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
9695adantrr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  ( X : B --> CC  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1 ) )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  <->  A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
9796pm5.32da 639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  -> 
( ( ( X : B --> CC  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) )  <->  ( ( X : B --> CC  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) )
98 3anan32 983 . . . . . . 7  |-  ( ( X : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
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`  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
99 an31 798 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC )  <->  ( ( X : B --> CC  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
10097, 98, 993bitr4g 288 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  -> 
( ( X : B
--> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  <-> 
( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) )
10139, 100bitrd 253 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) )
10212, 101sylan2br 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) )
103102pm5.32da 639 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  X  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) ) )  <->  ( A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) ) )
104 ancom 448 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )  <->  ( A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  X  e.  (
(mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) ) ) )
105 df-3an 973 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )  <->  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )
) )
106105anbi2i 692 . . . 4  |-  ( ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )  <-> 
( X : B --> CC  /\  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )
) ) )
107 an13 797 . . . 4  |-  ( ( X : B --> CC  /\  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )  <-> 
( A. x  e.  B  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  (
( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) )
108106, 107bitri 249 . . 3  |-  ( ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )  <-> 
( A. x  e.  B  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  (
( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) )
109103, 104, 1083bitr4g 288 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  /\  A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )
)  <->  ( X : B
--> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) ) ) )
1107, 109bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971   A.wal 1397    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   0cc0 9403   1c1 9404    x. cmul 9408   NNcn 10452   NN0cn0 10712   Basecbs 14634   .rcmulr 14703   Mndcmnd 16036   MndHom cmhm 16081  mulGrpcmgp 17254   1rcur 17266   Ringcrg 17311   CRingccrg 17312  Unitcui 17401  ℂfldccnfld 18533  ℤ/nczn 18633  DChrcdchr 23624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-ec 7231  df-qs 7235  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-0g 14849  df-imas 14915  df-qus 14916  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-subg 16315  df-nsg 16316  df-eqg 16317  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-cring 17314  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-subrg 17540  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-lsp 17731  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-lidl 17933  df-rsp 17934  df-2idl 17993  df-cnfld 18534  df-zring 18602  df-zn 18637  df-dchr 23625
This theorem is referenced by:  dchrelbasd  23631  dchrf  23634  dchrmulcl  23641  dchrinv  23653  lgsdchr  23740
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