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Theorem dchrelbas3 24245
Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of  CC, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrval.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrval.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrval.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrval.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrbas.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
dchrelbas3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, N    x, U, y    ph, x, y    x, X, y    x, Z, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)    G( x, y)    N( y)

Proof of Theorem dchrelbas3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrval.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrval.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
4 dchrval.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  Z )
5 dchrval.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6 dchrbas.b . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrelbas2 24244 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) ) )
8 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( X `  z )  =  ( X `  x ) )
98neeq1d 2702 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( X `  z
)  =/=  0  <->  ( X `  x )  =/=  0 ) )
10 eleq1 2537 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  U  <->  x  e.  U ) )
119, 10imbi12d 327 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  <-> 
( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )
1211cbvralv 3005 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U )  <->  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )
135nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
142zncrng 19192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  CRing )
16 crngring 17869 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
18 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
1918ringmgp 17864 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  e.  Ring  ->  (mulGrp `  Z )  e.  Mnd )
2017, 19syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  Z )  e.  Mnd )
21 cnring 19067 . . . . . . . . 9  |-fld  e.  Ring
22 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
2322ringmgp 17864 . . . . . . . . 9  |-  (fld  e.  Ring  -> 
(mulGrp ` fld )  e.  Mnd )
2421, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  (mulGrp ` fld )  e.  Mnd
2518, 3mgpbas 17807 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  Z ) )
26 cnfldbas 19051 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2722, 26mgpbas 17807 . . . . . . . . . 10  |-  CC  =  ( Base `  (mulGrp ` fld ) )
28 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
2918, 28mgpplusg 17805 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  (mulGrp `  Z ) )
30 cnfldmul 19053 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  =  ( .r ` fld )
3122, 30mgpplusg 17805 . . . . . . . . . 10  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
32 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
3318, 32ringidval 17815 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Z ) )
34 cnfld1 19070 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =  ( 1r ` fld )
3522, 34ringidval 17815 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 0g `  (mulGrp ` fld ) )
3625, 27, 29, 31, 33, 35ismhm 16662 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( (
(mulGrp `  Z )  e.  Mnd  /\  (mulGrp ` fld )  e.  Mnd )  /\  ( X : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 ) ) )
3736baib 919 . . . . . . . 8  |-  ( ( (mulGrp `  Z )  e.  Mnd  /\  (mulGrp ` fld )  e.  Mnd )  ->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  <->  ( X : B
--> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 ) ) )
3820, 24, 37sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( X : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 ) ) )
3938adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( X : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 ) ) )
40 biimt 342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  <-> 
( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) )
4140adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  <-> 
( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) )
4217ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  Z  e.  Ring )
43 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
44 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
453, 28ringcl 17872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x ( .r `  Z ) y )  e.  B )
4642, 43, 44, 45syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .r `  Z
) y )  e.  B )
47 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )
48 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  ( X `  z )  =  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) ) )
4948neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  (
( X `  z
)  =/=  0  <->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =/=  0 ) )
50 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  (
z  e.  U  <->  ( x
( .r `  Z
) y )  e.  U ) )
5149, 50imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  (
( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  <-> 
( ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =/=  0  ->  ( x ( .r
`  Z ) y )  e.  U ) ) )
5251rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x ( .r `  Z ) y )  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  ->  ( ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  =/=  0  ->  ( x
( .r `  Z
) y )  e.  U ) ) )
5346, 47, 52sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =/=  0  ->  (
x ( .r `  Z ) y )  e.  U ) )
5415ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  Z  e.  CRing
)
554, 28, 3unitmulclb 17971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Z  e.  CRing  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x ( .r
`  Z ) y )  e.  U  <->  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) )
5654, 43, 44, 55syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x ( .r `  Z ) y )  e.  U  <->  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) )
5753, 56sylibd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =/=  0  ->  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
) )
5857necon1bd 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( -.  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  0 ) )
5958imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  0 )
6011rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  ->  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )
6143, 47, 60sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )
62 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  =  y  ->  ( X `  z )  =  ( X `  y ) )
6362neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  y  ->  (
( X `  z
)  =/=  0  <->  ( X `  y )  =/=  0 ) )
64 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  U  <->  y  e.  U ) )
6563, 64imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  <-> 
( ( X `  y )  =/=  0  ->  y  e.  U ) ) )
6665rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  ->  ( ( X `
 y )  =/=  0  ->  y  e.  U ) ) )
6744, 47, 66sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  y )  =/=  0  ->  y  e.  U ) )
6861, 67anim12d 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
( X `  x
)  =/=  0  /\  ( X `  y
)  =/=  0 )  ->  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) )
6968con3dimp 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  -.  (
( X `  x
)  =/=  0  /\  ( X `  y
)  =/=  0 ) )
70 neanior 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X `  x
)  =/=  0  /\  ( X `  y
)  =/=  0 )  <->  -.  ( ( X `  x )  =  0  \/  ( X `  y )  =  0 ) )
7170con2bii 339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X `  x
)  =  0  \/  ( X `  y
)  =  0 )  <->  -.  ( ( X `  x )  =/=  0  /\  ( X `  y
)  =/=  0 ) )
7269, 71sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( ( X `  x )  =  0  \/  ( X `  y )  =  0 ) )
73 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  X : B
--> CC )
7473, 43ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( X `  x )  e.  CC )
7573, 44ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( X `  y )  e.  CC )
7674, 75mul0ord 10284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  =  0  <->  ( ( X `  x )  =  0  \/  ( X `  y )  =  0 ) ) )
7776adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( (
( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  =  0  <->  ( ( X `  x )  =  0  \/  ( X `  y )  =  0 ) ) )
7872, 77mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y
) )  =  0 )
7959, 78eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )
8079a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( (
x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) )
8179, 802thd 248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  <->  ( (
x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) ) )
8241, 81pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  <->  ( (
x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) ) )
8382pm5.74da 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  ->  (
( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) ) )
843, 4unitcl 17965 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  U  ->  x  e.  B )
853, 4unitcl 17965 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  U  ->  y  e.  B )
8684, 85anim12i 576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )
8786pm4.71ri 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  <->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) )
8887imbi1i 332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )  <->  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
89 impexp 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )  <->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  e.  U  /\  y  e.  U
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) ) )
9088, 89bitri 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )  <->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  e.  U  /\  y  e.  U
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) ) )
9183, 90syl6bbr 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  ->  (
( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) )  <->  ( (
x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) ) )
92912albidv 1777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  ->  ( A. x A. y ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )  <->  A. x A. y
( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) )
93 r2al 2783 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
94 r2al 2783 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
9592, 93, 943bitr4g 296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  <->  A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
9695adantrr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  ( X : B --> CC  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1 ) )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  <->  A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
9796pm5.32da 653 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  -> 
( ( ( X : B --> CC  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) )  <->  ( ( X : B --> CC  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) )
98 3anan32 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( X : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
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`  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
99 an31 817 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC )  <->  ( ( X : B --> CC  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
10097, 98, 993bitr4g 296 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  -> 
( ( X : B
--> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  <-> 
( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) )
10139, 100bitrd 261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) )
10212, 101sylan2br 484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) )
103102pm5.32da 653 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  X  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) ) )  <->  ( A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) ) )
104 ancom 457 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )  <->  ( A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  X  e.  (
(mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) ) ) )
105 df-3an 1009 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )  <->  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )
) )
106105anbi2i 708 . . . 4  |-  ( ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )  <-> 
( X : B --> CC  /\  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )
) ) )
107 an13 816 . . . 4  |-  ( ( X : B --> CC  /\  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )  <-> 
( A. x  e.  B  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  (
( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) )
108106, 107bitri 257 . . 3  |-  ( ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )  <-> 
( A. x  e.  B  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  (
( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) )
109103, 104, 1083bitr4g 296 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  /\  A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )
)  <->  ( X : B
--> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) ) ) )
1107, 109bitrd 261 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558    x. cmul 9562   NNcn 10631   NN0cn0 10893   Basecbs 15199   .rcmulr 15269   Mndcmnd 16613   MndHom cmhm 16658  mulGrpcmgp 17801   1rcur 17813   Ringcrg 17858   CRingccrg 17859  Unitcui 17945  ℂfldccnfld 19047  ℤ/nczn 19151  DChrcdchr 24239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-imas 15485  df-qus 15487  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-rsp 18476  df-2idl 18533  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zn 19155  df-dchr 24240
This theorem is referenced by:  dchrelbasd  24246  dchrf  24249  dchrmulcl  24256  dchrinv  24268  lgsdchr  24355
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