Theorem ringidval 18326

Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidval.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringidval	⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Proof of Theorem ringidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ur 18325	. . . . 5 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
2	1	fveq1i 6104	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3		fnmgp 18314	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
4		fvco2 6183	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
5	3, 4	mpan 702	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	syl5eq 2656	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7		0g0 17086	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘∅)
8		fvprc 6097	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = ∅)
9		fvprc 6097	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
10	9	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
11	7, 8, 10	3eqtr4a 2670	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	6, 11	pm2.61i 175	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13		ringidval.u	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
14		ringidval.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15	14	fveq2i 6106	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
16	12, 13, 15	3eqtr4i 2642	1 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  0_gc0g 15923  mulGrpcmgp 18312  1_rcur 18324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-fv 5812  df-ov 6552  df-slot 15699  df-base 15700  df-0g 15925  df-mgp 18313  df-ur 18325

This theorem is referenced by:  dfur2  18327  srgidcl  18341  srgidmlem  18343  issrgid  18346  srgpcomp  18355  srg1expzeq1  18362  srgbinom  18368  ringidcl  18391  ringidmlem  18393  isringid  18396  prds1  18437  oppr1  18457  unitsubm  18493  rngidpropd  18518  dfrhm2  18540  isrhm2d  18551  rhm1  18553  subrgsubm  18616  issubrg3  18631  assamulgscmlem1  19169  mplcoe3  19287  mplcoe5  19289  mplbas2  19291  evlslem1  19336  ply1scltm  19472  lply1binomsc  19498  evls1gsummul  19511  evl1gsummul  19545  cnfldexp  19598  expmhm  19634  nn0srg  19635  rge0srg  19636  madetsumid  20086  mat1mhm  20109  scmatmhm  20159  mdet0pr  20217  mdetunilem7  20243  smadiadetlem4  20294  mat2pmatmhm  20357  pm2mpmhm  20444  chfacfscmulgsum  20484  chfacfpmmulgsum  20488  cpmadugsumlemF  20500  efsubm  24101  amgmlem  24516  amgm  24517  wilthlem2  24595  wilthlem3  24596  dchrelbas3  24763  dchrzrh1  24769  dchrmulcl  24774  dchrn0  24775  dchrinvcl  24778  dchrfi  24780  dchrabs  24785  sumdchr2  24795  rpvmasum2  25001  psgnid  29178  iistmd  29276  isdomn3  36801  mon1psubm  36803  deg1mhm  36804  c0rhm  41702  c0rnghm  41703  amgmwlem  42357  amgmlemALT  42358