MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrabs 24785
Description: A Dirichlet character takes values on the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrabs.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrabs.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrabs.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrabs.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrabs.a (𝜑𝐴𝑈)
Assertion
Ref Expression
dchrabs (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) = 1)

Proof of Theorem dchrabs
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrabs.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrabs.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5 dchrabs.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐷)
61, 2, 3, 4, 5dchrf 24767 . . . . . 6 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
7 dchrabs.u . . . . . . . 8 𝑈 = (Unit‘𝑍)
84, 7unitss 18483 . . . . . . 7 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
9 dchrabs.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑈)
108, 9sseldi 3566 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
116, 10ffvelrnd 6268 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
121, 2, 3, 4, 7, 5, 10dchrn0 24775 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴𝑈))
139, 12mpbird 246 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐴) ≠ 0)
1411, 13absrpcld 14035 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℝ+)
151, 3dchrrcl 24765 . . . . . . . 8 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
162, 4znfi 19727 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
175, 15, 163syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝑍) ∈ Fin)
18 ssfi 8065 . . . . . . 7 (((Base‘𝑍) ∈ Fin ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
1917, 8, 18sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
20 hashcl 13009 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Fin → (#‘𝑈) ∈ ℕ0)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑈) ∈ ℕ0)
2221nn0red 11229 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝑈) ∈ ℝ)
2322recnd 9947 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑈) ∈ ℂ)
24 ne0i 3880 . . . . . . . 8 (𝐴𝑈𝑈 ≠ ∅)
259, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ≠ ∅)
26 hashnncl 13018 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Fin → ((#‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
2719, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘𝑈) ∈ ℕ ↔ 𝑈 ≠ ∅))
2825, 27mpbird 246 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝑈) ∈ ℕ)
2928nnne0d 10942 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑈) ≠ 0)
3023, 29reccld 10673 . . . 4 (𝜑 → (1 / (#‘𝑈)) ∈ ℂ)
3114, 22, 30cxpmuld 24280 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐((#‘𝑈) · (1 / (#‘𝑈)))) = (((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(#‘𝑈))↑𝑐(1 / (#‘𝑈))))
3223, 29recidd 10675 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝑈) · (1 / (#‘𝑈))) = 1)
3332oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐((#‘𝑈) · (1 / (#‘𝑈)))) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐1))
3411abscld 14023 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℝ)
3534recnd 9947 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℂ)
36 cxpexp 24214 . . . . . 6 (((abs‘(𝑋𝐴)) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(#‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑(#‘𝑈)))
3735, 21, 36syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(#‘𝑈)) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑(#‘𝑈)))
3811, 21absexpd 14039 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝑋𝐴)↑(#‘𝑈))) = ((abs‘(𝑋𝐴))↑(#‘𝑈)))
39 cnring 19587 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ Ring
40 cnfldbas 19571 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ = (Base‘ℂfld)
41 cnfld0 19589 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g‘ℂfld)
42 cndrng 19594 . . . . . . . . . . . . 13 fld ∈ DivRing
4340, 41, 42drngui 18576 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
44 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
4543, 44unitsubm 18493 . . . . . . . . . . 11 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
4639, 45mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
47 eldifsn 4260 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑋𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0))
4811, 13, 47sylanbrc 695 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))
49 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
50 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
51 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
5249, 50, 51submmulg 17409 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ (#‘𝑈) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((#‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
5346, 21, 48, 52syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((#‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
54 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
551, 2, 3, 7, 54, 50, 5dchrghm 24781 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
5621nn0zd 11356 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘𝑈) ∈ ℤ)
577, 54unitgrpbas 18489 . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
58 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
5957, 58, 51ghmmulg 17495 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (#‘𝑈) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑈) → ((𝑋𝑈)‘((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋𝑈)‘𝐴)))
6055, 56, 9, 59syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋𝑈)‘𝐴)))
615, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6261nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
632zncrng 19712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
64 crngring 18381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
6562, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
667, 54unitgrp 18490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
68 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
6957, 68oddvds2 17806 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑈) → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (#‘𝑈))
7067, 19, 9, 69syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (#‘𝑈))
71 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
7257, 68, 58, 71oddvds 17789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝐴𝑈 ∧ (#‘𝑈) ∈ ℤ) → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (#‘𝑈) ↔ ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
7367, 9, 56, 72syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((od‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))‘𝐴) ∥ (#‘𝑈) ↔ ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))))
7470, 73mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
75 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r𝑍) = (1r𝑍)
767, 54, 75unitgrpid 18492 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
7765, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r𝑍) = (0g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)))
7874, 77eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴) = (1r𝑍))
7978fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))𝐴)) = ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)))
80 fvres 6117 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑈 → ((𝑋𝑈)‘𝐴) = (𝑋𝐴))
819, 80syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘𝐴) = (𝑋𝐴))
8281oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))((𝑋𝑈)‘𝐴)) = ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
8360, 79, 823eqtr3d 2652 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)) = ((#‘𝑈)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))(𝑋𝐴)))
847, 751unit 18481 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
85 fvres 6117 . . . . . . . . . 10 ((1r𝑍) ∈ 𝑈 → ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)) = (𝑋‘(1r𝑍)))
8665, 84, 853syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝑈)‘(1r𝑍)) = (𝑋‘(1r𝑍)))
8753, 83, 863eqtr2d 2650 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = (𝑋‘(1r𝑍)))
88 cnfldexp 19598 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑈) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((𝑋𝐴)↑(#‘𝑈)))
8911, 21, 88syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘𝑈)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑋𝐴)) = ((𝑋𝐴)↑(#‘𝑈)))
901, 2, 3dchrmhm 24766 . . . . . . . . . 10 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
9190, 5sseldi 3566 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
92 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
9392, 75ringidval 18326 . . . . . . . . . 10 (1r𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
94 cnfld1 19590 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r‘ℂfld)
9544, 94ringidval 18326 . . . . . . . . . 10 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
9693, 95mhm0 17166 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
9791, 96syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
9887, 89, 973eqtr3d 2652 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋𝐴)↑(#‘𝑈)) = 1)
9998fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑋𝐴)↑(#‘𝑈))) = (abs‘1))
100 abs1 13885 . . . . . 6 (abs‘1) = 1
10199, 100syl6eq 2660 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝑋𝐴)↑(#‘𝑈))) = 1)
10237, 38, 1013eqtr2d 2650 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(#‘𝑈)) = 1)
103102oveq1d 6564 . . 3 (𝜑 → (((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐(#‘𝑈))↑𝑐(1 / (#‘𝑈))) = (1↑𝑐(1 / (#‘𝑈))))
10431, 33, 1033eqtr3d 2652 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐1) = (1↑𝑐(1 / (#‘𝑈))))
10535cxp1d 24252 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐴))↑𝑐1) = (abs‘(𝑋𝐴)))
106301cxpd 24253 . 2 (𝜑 → (1↑𝑐(1 / (#‘𝑈))) = 1)
107104, 105, 1063eqtr3d 2652 1 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐴)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  cdif 3537  wss 3540  c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  cres 5040  cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   / cdiv 10563  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254  cexp 12722  #chash 12979  abscabs 13822  cdvds 14821  Basecbs 15695  s cress 15696  0gc0g 15923   MndHom cmhm 17156  SubMndcsubmnd 17157  Grpcgrp 17245  .gcmg 17363   GrpHom cghm 17480  odcod 17767  mulGrpcmgp 18312  1rcur 18324  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  Unitcui 18462  fldccnfld 19567  ℤ/nczn 19670  𝑐ccxp 24106  DChrcdchr 24757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-qus 15992  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-od 17771  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108  df-dchr 24758
This theorem is referenced by:  dchrinv  24786  dchrabs2  24787  sum2dchr  24799  dchrisum0flblem1  24997
  Copyright terms: Public domain W3C validator