MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrabs Structured version   Unicode version

Theorem dchrabs 22574
Description: A Dirichlet character takes values on the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrabs.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrabs.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrabs.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrabs.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrabs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
Assertion
Ref Expression
dchrabs  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  =  1 )

Proof of Theorem dchrabs
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrabs.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrabs.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
5 dchrabs.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
61, 2, 3, 4, 5dchrf 22556 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
7 dchrabs.u . . . . . . . 8  |-  U  =  (Unit `  Z )
84, 7unitss 16740 . . . . . . 7  |-  U  C_  ( Base `  Z )
9 dchrabs.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
108, 9sseldi 3349 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( Base `  Z ) )
116, 10ffvelrnd 5839 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X `  A
)  e.  CC )
121, 2, 3, 4, 7, 5, 10dchrn0 22564 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X `  A )  =/=  0  <->  A  e.  U ) )
139, 12mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X `  A
)  =/=  0 )
1411, 13absrpcld 12926 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  e.  RR+ )
151, 3dchrrcl 22554 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
162, 4znfi 17967 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Base `  Z )  e. 
Fin )
175, 15, 163syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  Z
)  e.  Fin )
18 ssfi 7525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  Z
)  e.  Fin  /\  U  C_  ( Base `  Z
) )  ->  U  e.  Fin )
1917, 8, 18sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
20 hashcl 12118 . . . . . 6  |-  ( U  e.  Fin  ->  ( # `
 U )  e. 
NN0 )
2119, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  NN0 )
2221nn0red 10629 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  RR )
2322recnd 9404 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  CC )
24 ne0i 3638 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
259, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =/=  (/) )
26 hashnncl 12126 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  Fin  ->  (
( # `  U )  e.  NN  <->  U  =/=  (/) ) )
2719, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
)  e.  NN  <->  U  =/=  (/) ) )
2825, 27mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  NN )
2928nnne0d 10358 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  =/=  0 )
3023, 29reccld 10092 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( # `
 U ) )  e.  CC )
3114, 22, 30cxpmuld 22154 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^c  ( ( # `  U
)  x.  ( 1  /  ( # `  U
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( X `
 A ) )  ^c  ( # `  U ) )  ^c  ( 1  / 
( # `  U ) ) ) )
3223, 29recidd 10094 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
)  x.  ( 1  /  ( # `  U
) ) )  =  1 )
3332oveq2d 6102 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^c  ( ( # `  U
)  x.  ( 1  /  ( # `  U
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  A
) )  ^c 
1 ) )
3411abscld 12914 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  e.  RR )
3534recnd 9404 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  e.  CC )
36 cxpexp 22088 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  ( X `  A )
)  e.  CC  /\  ( # `  U )  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  ( X `  A )
)  ^c  (
# `  U )
)  =  ( ( abs `  ( X `
 A ) ) ^ ( # `  U
) ) )
3735, 21, 36syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^c  (
# `  U )
)  =  ( ( abs `  ( X `
 A ) ) ^ ( # `  U
) ) )
3811, 21absexpd 12930 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X `  A
) ^ ( # `  U ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  A
) ) ^ ( # `
 U ) ) )
39 cnrng 17813 . . . . . . . . . . 11  |-fld  e.  Ring
40 cnfldbas 17797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  =  ( Base ` fld )
41 cnfld0 17815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  =  ( 0g ` fld )
42 cndrng 17820 . . . . . . . . . . . . 13  |-fld  e.  DivRing
4340, 41, 42drngui 16816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
44 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
4543, 44unitsubm 16750 . . . . . . . . . . 11  |-  (fld  e.  Ring  -> 
( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
4639, 45mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
47 eldifsn 3995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X `  A )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( X `  A )  e.  CC  /\  ( X `  A
)  =/=  0 ) )
4811, 13, 47sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X `  A
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
49 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  (.g `  (mulGrp ` fld ) )  =  (.g `  (mulGrp ` fld ) )
50 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
51 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  =  (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
5249, 50, 51submmulg 15653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  ( # `
 U )  e. 
NN0  /\  ( X `  A )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
5346, 21, 48, 52syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
54 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mulGrp `  Z )s  U )  =  ( (mulGrp `  Z )s  U
)
551, 2, 3, 7, 54, 50, 5dchrghm 22570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
5621nn0zd 10737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  ZZ )
577, 54unitgrpbas 16746 . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( Base `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
58 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  (.g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )  =  (.g `  ( (mulGrp `  Z
)s 
U ) )
5957, 58, 51ghmmulg 15750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  /\  ( # `  U
)  e.  ZZ  /\  A  e.  U )  ->  ( ( X  |`  U ) `  (
( # `  U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A ) )  =  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( ( X  |`  U ) `
 A ) ) )
6055, 56, 9, 59syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  (
( # `  U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A ) )  =  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( ( X  |`  U ) `
 A ) ) )
615, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6261nnnn0d 10628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
632zncrng 17952 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
64 crngrng 16643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
6562, 63, 643syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
667, 54unitgrp 16747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( (mulGrp `  Z )s  U )  e.  Grp )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )  e.  Grp )
68 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( od
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) )  =  ( od `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
6957, 68oddvds2 16058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (mulGrp `  Z
)s 
U )  e.  Grp  /\  U  e.  Fin  /\  A  e.  U )  ->  ( ( od `  ( (mulGrp `  Z )s  U
) ) `  A
)  ||  ( # `  U
) )
7067, 19, 9, 69syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( od `  ( (mulGrp `  Z )s  U
) ) `  A
)  ||  ( # `  U
) )
71 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) )  =  ( 0g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
7257, 68, 58, 71oddvds 16041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (mulGrp `  Z
)s 
U )  e.  Grp  /\  A  e.  U  /\  ( # `  U )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( od
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) `  A )  ||  ( # `
 U )  <->  ( ( # `
 U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z
)s 
U ) ) A )  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) ) )
7367, 9, 56, 72syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( od
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) `  A )  ||  ( # `
 U )  <->  ( ( # `
 U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z
)s 
U ) ) A )  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) ) )
7470, 73mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A )  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) )
75 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
767, 54, 75unitgrpid 16749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) ) )
7765, 76syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Z
)  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) )
7874, 77eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A )  =  ( 1r
`  Z ) )
7978fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  (
( # `  U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A ) )  =  ( ( X  |`  U ) `
 ( 1r `  Z ) ) )
80 fvres 5699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  U  ->  (
( X  |`  U ) `
 A )  =  ( X `  A
) )
819, 80syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  A
)  =  ( X `
 A ) )
8281oveq2d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( ( X  |`  U ) `
 A ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
8360, 79, 823eqtr3d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
847, 751unit 16738 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  e.  U )
85 fvres 5699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1r `  Z )  e.  U  ->  (
( X  |`  U ) `
 ( 1r `  Z ) )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
8665, 84, 853syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
8753, 83, 863eqtr2d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
88 cnfldexp 17824 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X `  A
)  e.  CC  /\  ( # `  U )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( X `
 A ) ^
( # `  U ) ) )
8911, 21, 88syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( X `
 A ) ^
( # `  U ) ) )
901, 2, 3dchrmhm 22555 . . . . . . . . . 10  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )
9190, 5sseldi 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
) )
92 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
9392, 75rngidval 16593 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Z ) )
94 cnfld1 17816 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =  ( 1r ` fld )
9544, 94rngidval 16593 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 0g `  (mulGrp ` fld ) )
9693, 95mhm0 15464 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
9791, 96syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
9887, 89, 973eqtr3d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X `  A ) ^ ( # `
 U ) )  =  1 )
9998fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X `  A
) ^ ( # `  U ) ) )  =  ( abs `  1
) )
100 abs1 12778 . . . . . 6  |-  ( abs `  1 )  =  1
10199, 100syl6eq 2486 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X `  A
) ^ ( # `  U ) ) )  =  1 )
10237, 38, 1013eqtr2d 2476 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^c  (
# `  U )
)  =  1 )
103102oveq1d 6101 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( X `  A
) )  ^c 
( # `  U ) )  ^c  ( 1  /  ( # `  U ) ) )  =  ( 1  ^c  ( 1  / 
( # `  U ) ) ) )
10431, 33, 1033eqtr3d 2478 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^c  1 )  =  ( 1  ^c  ( 1  /  ( # `  U
) ) ) )
10535cxp1d 22126 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^c  1 )  =  ( abs `  ( X `  A
) ) )
106301cxpd 22127 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  ^c 
( 1  /  ( # `
 U ) ) )  =  1 )
107104, 105, 1063eqtr3d 2478 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601    \ cdif 3320    C_ wss 3323   (/)c0 3632   {csn 3872   class class class wbr 4287    |` cres 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    x. cmul 9279    / cdiv 9985   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ^cexp 11857   #chash 12095   abscabs 12715    || cdivides 13527   Basecbs 14166   ↾s cress 14167   0gc0g 14370   Grpcgrp 15402  .gcmg 15406   MndHom cmhm 15454  SubMndcsubmnd 15455    GrpHom cghm 15735   odcod 16019  mulGrpcmgp 16579   1rcur 16591   Ringcrg 16633   CRingccrg 16634  Unitcui 16719  ℂfldccnfld 17793  ℤ/nczn 17909    ^c ccxp 21982  DChrcdchr 22546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-disj 4258  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-divs 14439  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-nsg 15670  df-eqg 15671  df-ghm 15736  df-cntz 15826  df-od 16023  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-cring 16636  df-oppr 16703  df-dvdsr 16721  df-unit 16722  df-invr 16752  df-dvr 16763  df-rnghom 16794  df-drng 16812  df-subrg 16841  df-lmod 16928  df-lss 16991  df-lsp 17030  df-sra 17230  df-rgmod 17231  df-lidl 17232  df-rsp 17233  df-2idl 17291  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-zring 17859  df-zrh 17910  df-zn 17913  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-log 21983  df-cxp 21984  df-dchr 22547
This theorem is referenced by:  dchrinv  22575  dchrabs2  22576  sum2dchr  22588  dchrisum0flblem1  22732
  Copyright terms: Public domain W3C validator