MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrabs Structured version   Unicode version

Theorem dchrabs 23513
Description: A Dirichlet character takes values on the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrabs.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrabs.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrabs.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrabs.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrabs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
Assertion
Ref Expression
dchrabs  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  =  1 )

Proof of Theorem dchrabs
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrabs.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrabs.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
5 dchrabs.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
61, 2, 3, 4, 5dchrf 23495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
7 dchrabs.u . . . . . . . 8  |-  U  =  (Unit `  Z )
84, 7unitss 17288 . . . . . . 7  |-  U  C_  ( Base `  Z )
9 dchrabs.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
108, 9sseldi 3487 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( Base `  Z ) )
116, 10ffvelrnd 6017 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X `  A
)  e.  CC )
121, 2, 3, 4, 7, 5, 10dchrn0 23503 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X `  A )  =/=  0  <->  A  e.  U ) )
139, 12mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X `  A
)  =/=  0 )
1411, 13absrpcld 13261 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  e.  RR+ )
151, 3dchrrcl 23493 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
162, 4znfi 18576 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Base `  Z )  e. 
Fin )
175, 15, 163syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  Z
)  e.  Fin )
18 ssfi 7742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  Z
)  e.  Fin  /\  U  C_  ( Base `  Z
) )  ->  U  e.  Fin )
1917, 8, 18sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
20 hashcl 12410 . . . . . 6  |-  ( U  e.  Fin  ->  ( # `
 U )  e. 
NN0 )
2119, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  NN0 )
2221nn0red 10860 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  RR )
2322recnd 9625 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  CC )
24 ne0i 3776 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
259, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =/=  (/) )
26 hashnncl 12418 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  Fin  ->  (
( # `  U )  e.  NN  <->  U  =/=  (/) ) )
2719, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
)  e.  NN  <->  U  =/=  (/) ) )
2825, 27mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  NN )
2928nnne0d 10587 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  =/=  0 )
3023, 29reccld 10320 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( # `
 U ) )  e.  CC )
3114, 22, 30cxpmuld 23093 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^c  ( ( # `  U
)  x.  ( 1  /  ( # `  U
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( X `
 A ) )  ^c  ( # `  U ) )  ^c  ( 1  / 
( # `  U ) ) ) )
3223, 29recidd 10322 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
)  x.  ( 1  /  ( # `  U
) ) )  =  1 )
3332oveq2d 6297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^c  ( ( # `  U
)  x.  ( 1  /  ( # `  U
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  A
) )  ^c 
1 ) )
3411abscld 13249 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  e.  RR )
3534recnd 9625 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  e.  CC )
36 cxpexp 23027 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  ( X `  A )
)  e.  CC  /\  ( # `  U )  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  ( X `  A )
)  ^c  (
# `  U )
)  =  ( ( abs `  ( X `
 A ) ) ^ ( # `  U
) ) )
3735, 21, 36syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^c  (
# `  U )
)  =  ( ( abs `  ( X `
 A ) ) ^ ( # `  U
) ) )
3811, 21absexpd 13265 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X `  A
) ^ ( # `  U ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  A
) ) ^ ( # `
 U ) ) )
39 cnring 18419 . . . . . . . . . . 11  |-fld  e.  Ring
40 cnfldbas 18403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  =  ( Base ` fld )
41 cnfld0 18421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  =  ( 0g ` fld )
42 cndrng 18426 . . . . . . . . . . . . 13  |-fld  e.  DivRing
4340, 41, 42drngui 17381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
44 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
4543, 44unitsubm 17298 . . . . . . . . . . 11  |-  (fld  e.  Ring  -> 
( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
4639, 45mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
47 eldifsn 4140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X `  A )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( X `  A )  e.  CC  /\  ( X `  A
)  =/=  0 ) )
4811, 13, 47sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X `  A
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
49 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  (.g `  (mulGrp ` fld ) )  =  (.g `  (mulGrp ` fld ) )
50 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
51 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  =  (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
5249, 50, 51submmulg 16156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  ( # `
 U )  e. 
NN0  /\  ( X `  A )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
5346, 21, 48, 52syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
54 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mulGrp `  Z )s  U )  =  ( (mulGrp `  Z )s  U
)
551, 2, 3, 7, 54, 50, 5dchrghm 23509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
5621nn0zd 10974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  ZZ )
577, 54unitgrpbas 17294 . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( Base `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
58 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  (.g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )  =  (.g `  ( (mulGrp `  Z
)s 
U ) )
5957, 58, 51ghmmulg 16258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  /\  ( # `  U
)  e.  ZZ  /\  A  e.  U )  ->  ( ( X  |`  U ) `  (
( # `  U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A ) )  =  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( ( X  |`  U ) `
 A ) ) )
6055, 56, 9, 59syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  (
( # `  U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A ) )  =  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( ( X  |`  U ) `
 A ) ) )
615, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6261nnnn0d 10859 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
632zncrng 18561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
64 crngring 17188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
6562, 63, 643syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
667, 54unitgrp 17295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( (mulGrp `  Z )s  U )  e.  Grp )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )  e.  Grp )
68 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( od
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) )  =  ( od `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
6957, 68oddvds2 16567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (mulGrp `  Z
)s 
U )  e.  Grp  /\  U  e.  Fin  /\  A  e.  U )  ->  ( ( od `  ( (mulGrp `  Z )s  U
) ) `  A
)  ||  ( # `  U
) )
7067, 19, 9, 69syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( od `  ( (mulGrp `  Z )s  U
) ) `  A
)  ||  ( # `  U
) )
71 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) )  =  ( 0g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
7257, 68, 58, 71oddvds 16550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (mulGrp `  Z
)s 
U )  e.  Grp  /\  A  e.  U  /\  ( # `  U )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( od
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) `  A )  ||  ( # `
 U )  <->  ( ( # `
 U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z
)s 
U ) ) A )  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) ) )
7367, 9, 56, 72syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( od
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) `  A )  ||  ( # `
 U )  <->  ( ( # `
 U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z
)s 
U ) ) A )  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) ) )
7470, 73mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A )  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) )
75 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
767, 54, 75unitgrpid 17297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) ) )
7765, 76syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Z
)  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) )
7874, 77eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A )  =  ( 1r
`  Z ) )
7978fveq2d 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  (
( # `  U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A ) )  =  ( ( X  |`  U ) `
 ( 1r `  Z ) ) )
80 fvres 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  U  ->  (
( X  |`  U ) `
 A )  =  ( X `  A
) )
819, 80syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  A
)  =  ( X `
 A ) )
8281oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( ( X  |`  U ) `
 A ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
8360, 79, 823eqtr3d 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
847, 751unit 17286 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  e.  U )
85 fvres 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1r `  Z )  e.  U  ->  (
( X  |`  U ) `
 ( 1r `  Z ) )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
8665, 84, 853syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
8753, 83, 863eqtr2d 2490 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
88 cnfldexp 18430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X `  A
)  e.  CC  /\  ( # `  U )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( X `
 A ) ^
( # `  U ) ) )
8911, 21, 88syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( X `
 A ) ^
( # `  U ) ) )
901, 2, 3dchrmhm 23494 . . . . . . . . . 10  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )
9190, 5sseldi 3487 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
) )
92 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
9392, 75ringidval 17134 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Z ) )
94 cnfld1 18422 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =  ( 1r ` fld )
9544, 94ringidval 17134 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 0g `  (mulGrp ` fld ) )
9693, 95mhm0 15953 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
9791, 96syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
9887, 89, 973eqtr3d 2492 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X `  A ) ^ ( # `
 U ) )  =  1 )
9998fveq2d 5860 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X `  A
) ^ ( # `  U ) ) )  =  ( abs `  1
) )
100 abs1 13112 . . . . . 6  |-  ( abs `  1 )  =  1
10199, 100syl6eq 2500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X `  A
) ^ ( # `  U ) ) )  =  1 )
10237, 38, 1013eqtr2d 2490 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^c  (
# `  U )
)  =  1 )
103102oveq1d 6296 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( X `  A
) )  ^c 
( # `  U ) )  ^c  ( 1  /  ( # `  U ) ) )  =  ( 1  ^c  ( 1  / 
( # `  U ) ) ) )
10431, 33, 1033eqtr3d 2492 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^c  1 )  =  ( 1  ^c  ( 1  /  ( # `  U
) ) ) )
10535cxp1d 23065 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^c  1 )  =  ( abs `  ( X `  A
) ) )
106301cxpd 23066 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  ^c 
( 1  /  ( # `
 U ) ) )  =  1 )
107104, 105, 1063eqtr3d 2492 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638    \ cdif 3458    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   class class class wbr 4437    |` cres 4991   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496    x. cmul 9500    / cdiv 10213   NNcn 10543   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   ^cexp 12148   #chash 12387   abscabs 13049    || cdvds 13968   Basecbs 14614   ↾s cress 14615   0gc0g 14819   MndHom cmhm 15943  SubMndcsubmnd 15944   Grpcgrp 16032  .gcmg 16035    GrpHom cghm 16243   odcod 16528  mulGrpcmgp 17120   1rcur 17132   Ringcrg 17177   CRingccrg 17178  Unitcui 17267  ℂfldccnfld 18399  ℤ/nczn 18518    ^c ccxp 22921  DChrcdchr 23485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-dvds 13969  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-qus 14888  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-mhm 15945  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-mulg 16039  df-subg 16177  df-nsg 16178  df-eqg 16179  df-ghm 16244  df-cntz 16334  df-od 16532  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-cring 17180  df-oppr 17251  df-dvdsr 17269  df-unit 17270  df-invr 17300  df-dvr 17311  df-rnghom 17343  df-drng 17377  df-subrg 17406  df-lmod 17493  df-lss 17558  df-lsp 17597  df-sra 17797  df-rgmod 17798  df-lidl 17799  df-rsp 17800  df-2idl 17859  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-zring 18468  df-zrh 18519  df-zn 18522  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249  df-log 22922  df-cxp 22923  df-dchr 23486
This theorem is referenced by:  dchrinv  23514  dchrabs2  23515  sum2dchr  23527  dchrisum0flblem1  23671
  Copyright terms: Public domain W3C validator