Theorem unitsubm 18493

Description: The group of units is a submonoid of the multiplicative monoid of the ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitsubm.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitsubm.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitsubm	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem unitsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unitsubm.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitss 18483	. . 3 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅))
5		eqid 2610	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6	2, 5	1unit 18481	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
7		unitsubm.2	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8	7	oveq1i 6559	. . . 4 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
9	2, 8	unitgrp 18490	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Grp)
10		grpmnd 17252	. . 3 ⊢ ((𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Grp → (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)
12	7	ringmgp 18376	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
13	7, 1	mgpbas 18318	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
14	7, 5	ringidval 18326	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
15		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝑀 ↾s 𝑈) = (𝑀 ↾s 𝑈)
16	13, 14, 15	issubm2 17171	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
17	12, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑈 ∧ (𝑀 ↾s 𝑈) ∈ Mnd)))
18	4, 6, 11, 17	mpbir3and 1238	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  Mndcmnd 17117  SubMndcsubmnd 17157  Grpcgrp 17245  mulGrpcmgp 18312  1_rcur 18324  Ringcrg 18370  Unitcui 18462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465

This theorem is referenced by:  zrhpsgnmhm  19749  nrgtdrg  22307  amgmlem  24516  dchrfi  24780  dchrghm  24781  dchrabs  24785  lgseisenlem3  24902  lgseisenlem4  24903  idomodle  36793  proot1ex  36798  amgmwlem  42357  amgmlemALT  42358