Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrresb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrresb 24784
 Description: A Dirichlet character is determined by its values on the unit group. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrresb.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrresb.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrresb.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrresb.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrresb.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrresb.Y (𝜑𝑌𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchrresb (𝜑 → ((𝑋𝑈) = (𝑌𝑈) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem dchrresb
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrresb.g . . . . 5 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrresb.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrresb.b . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5 dchrresb.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
61, 2, 3, 4, 5dchrf 24767 . . . 4 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
7 ffn 5958 . . . 4 (𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ → 𝑋 Fn (Base‘𝑍))
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑋 Fn (Base‘𝑍))
9 dchrresb.Y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐷)
101, 2, 3, 4, 9dchrf 24767 . . . 4 (𝜑𝑌:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
11 ffn 5958 . . . 4 (𝑌:(Base‘𝑍)⟶ℂ → 𝑌 Fn (Base‘𝑍))
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 Fn (Base‘𝑍))
13 dchrresb.u . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑍)
144, 13unitss 18483 . . . 4 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
15 fvreseq 6227 . . . 4 (((𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ 𝑌 Fn (Base‘𝑍)) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)) → ((𝑋𝑈) = (𝑌𝑈) ↔ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
1614, 15mpan2 703 . . 3 ((𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ 𝑌 Fn (Base‘𝑍)) → ((𝑋𝑈) = (𝑌𝑈) ↔ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
178, 12, 16syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝑈) = (𝑌𝑈) ↔ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
181, 2, 3, 13, 5, 9dchreq 24783 . 2 (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑘𝑈 (𝑋𝑘) = (𝑌𝑘)))
1917, 18bitr4d 270 1 (𝜑 → ((𝑋𝑈) = (𝑌𝑈) ↔ 𝑋 = 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ℂcc 9813  Basecbs 15695  Unitcui 18462  ℤ/nℤczn 19670  DChrcdchr 24757 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zn 19674  df-dchr 24758 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator