MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rge0srg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rge0srg 19636
Description: The nonnegative real numbers form a semiring (commutative by subcmn 18065). (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
rge0srg (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ SRing

Proof of Theorem rge0srg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnring 19587 . . . 4 fld ∈ Ring
2 ringcmn 18404 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
31, 2ax-mp 5 . . 3 fld ∈ CMnd
4 rege0subm 19621 . . 3 (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)
5 eqid 2610 . . . 4 (ℂflds (0[,)+∞)) = (ℂflds (0[,)+∞))
65submcmn 18066 . . 3 ((ℂfld ∈ CMnd ∧ (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘ℂfld)) → (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ CMnd)
73, 4, 6mp2an 704 . 2 (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ CMnd
8 rge0ssre 12151 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
9 ax-resscn 9872 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
108, 9sstri 3577 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
11 1re 9918 . . . . 5 1 ∈ ℝ
12 0le1 10430 . . . . 5 0 ≤ 1
13 ltpnf 11830 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
1411, 13ax-mp 5 . . . . 5 1 < +∞
15 0re 9919 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
16 pnfxr 9971 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
17 elico2 12108 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
1815, 16, 17mp2an 704 . . . . 5 (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
1911, 12, 14, 18mpbir3an 1237 . . . 4 1 ∈ (0[,)+∞)
20 ge0mulcl 12156 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
2120rgen2a 2960 . . . 4 𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞)
22 eqid 2610 . . . . . 6 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2322ringmgp 18376 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
24 cnfldbas 19571 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
2522, 24mgpbas 18318 . . . . . 6 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
26 cnfld1 19590 . . . . . . 7 1 = (1r‘ℂfld)
2722, 26ringidval 18326 . . . . . 6 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
28 cnfldmul 19573 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
2922, 28mgpplusg 18316 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3025, 27, 29issubm 17170 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞))))
311, 23, 30mp2b 10 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,)+∞)))
3210, 19, 21, 31mpbir3an 1237 . . 3 (0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
33 eqid 2610 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞))
3433submmnd 17177 . . 3 ((0[,)+∞) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd)
3532, 34ax-mp 5 . 2 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd
36 simpll 786 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
3710, 36sseldi 3566 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
38 simplr 788 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
3910, 38sseldi 3566 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℂ)
40 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑧 ∈ (0[,)+∞))
4110, 40sseldi 3566 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑧 ∈ ℂ)
4237, 39, 41adddid 9943 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
4337, 39, 41adddird 9944 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
4442, 43jca 553 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
4544ralrimiva 2949 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
4645ralrimiva 2949 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → ∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
4710sseli 3564 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
4847mul02d 10113 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (0 · 𝑥) = 0)
4947mul01d 10114 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (𝑥 · 0) = 0)
5046, 48, 49jca32 556 . . 3 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0)))
5150rgen 2906 . 2 𝑥 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))
525, 24ressbas2 15758 . . . 4 ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
5310, 52ax-mp 5 . . 3 (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞)))
54 cnfldex 19570 . . . 4 fld ∈ V
55 ovex 6577 . . . 4 (0[,)+∞) ∈ V
565, 22mgpress 18323 . . . 4 ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,)+∞))))
5754, 55, 56mp2an 704 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) = (mulGrp‘(ℂflds (0[,)+∞)))
58 cnfldadd 19572 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
595, 58ressplusg 15818 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞))))
6055, 59ax-mp 5 . . 3 + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))
615, 28ressmulr 15829 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → · = (.r‘(ℂflds (0[,)+∞))))
6255, 61ax-mp 5 . . 3 · = (.r‘(ℂflds (0[,)+∞)))
63 ringmnd 18379 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
641, 63ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Mnd
65 0e0icopnf 12153 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
66 cnfld0 19589 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
675, 24, 66ress0g 17142 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂflds (0[,)+∞))))
6864, 65, 10, 67mp3an 1416 . . 3 0 = (0g‘(ℂflds (0[,)+∞)))
6953, 57, 60, 62, 68issrg 18330 . 2 ((ℂflds (0[,)+∞)) ∈ SRing ↔ ((ℂflds (0[,)+∞)) ∈ CMnd ∧ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,)+∞)) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑦 ∈ (0[,)+∞)∀𝑧 ∈ (0[,)+∞)((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((0 · 𝑥) = 0 ∧ (𝑥 · 0) = 0))))
707, 35, 51, 69mpbir3an 1237 1 (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ SRing
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  Vcvv 3173  wss 3540   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  [,)cico 12048  Basecbs 15695  s cress 15696  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  Mndcmnd 17117  SubMndcsubmnd 17157  CMndccmn 18016  mulGrpcmgp 18312  SRingcsrg 18328  Ringcrg 18370  fldccnfld 19567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-ico 12052  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-srg 18329  df-ring 18372  df-cring 18373  df-cnfld 19568
This theorem is referenced by:  xrge0slmod  29175  sge0tsms  39273
  Copyright terms: Public domain W3C validator