Theorem isrhm2d 18551

Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isrhmd.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isrhmd.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
isrhmd.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isrhmd.u	⊢ × = (.r‘𝑆)
isrhmd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isrhmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
isrhmd.ho	⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
isrhmd.ht	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
isrhm2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
isrhm2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isrhm2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrhmd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		isrhmd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
3	1, 2	jca 553	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
4		isrhm2d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
5		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6	5	ringmgp 18376	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7	1, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
8		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
9	8	ringmgp 18376	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
10	2, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
11	7, 10	jca 553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd))
12		isrhmd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
14	12, 13	ghmf 17487	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
15	4, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
16		isrhmd.ht	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
17	16	ralrimivva 2954	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
18		isrhmd.ho	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
19		isrhmd.o	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
20	5, 19	ringidval 18326	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
21	20	fveq2i 6106	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘ 1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅)))
22		isrhmd.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
23	8, 22	ringidval 18326	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
24	18, 21, 23	3eqtr3g 2667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
25	15, 17, 24	3jca 1235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))))
26	5, 12	mgpbas 18318	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
27	8, 13	mgpbas 18318	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
28		isrhmd.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29	5, 28	mgpplusg 18316	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
30		isrhmd.u	. . . . . 6 ⊢ × = (.r‘𝑆)
31	8, 30	mgpplusg 18316	. . . . 5 ⊢ × = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
32		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
33		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
34	26, 27, 29, 31, 32, 33	ismhm 17160	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ↔ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))))
35	11, 25, 34	sylanbrc 695	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
36	4, 35	jca 553	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
37	5, 8	isrhm 18544	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
38	3, 36, 37	sylanbrc 695	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  ._rcmulr 15769  0_gc0g 15923  Mndcmnd 17117   MndHom cmhm 17156   GrpHom cghm 17480  mulGrpcmgp 18312  1_rcur 18324  Ringcrg 18370   RingHom crh 18535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mhm 17158  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-rnghom 18538

This theorem is referenced by:  isrhmd  18552  qusrhm  19058  asclrhm  19163  mulgrhm  19665  rhmopp  29150