Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem1 19336
 Description: Lemma for evlseu 19337, give a formula for (the unique) polynomial evaluation homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem1.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem1.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlslem1.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem1.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem1.x = (.g𝑇)
evlslem1.m · = (.r𝑆)
evlslem1.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem1.e 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
evlslem1.i (𝜑𝐼 ∈ V)
evlslem1.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evlslem1.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlslem1.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem1.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
evlslem1.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
evlslem1 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆) ∧ (𝐸𝐴) = 𝐹 ∧ (𝐸𝑉) = 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑏,𝐵   𝐶,𝑏,𝑝   𝜑,𝑏,𝑝   𝐹,𝑏,𝑝   𝐾,𝑏   𝑇,𝑏,𝑝   𝐷,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝐼,𝑝   𝑅,𝑏,,𝑝   𝐺,𝑏,𝑝   𝑃,𝑏,𝑝   𝑆,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐴(,𝑝,𝑏)   𝐵()   𝐶()   𝐷()   𝑃()   𝑆()   𝑇()   · ()   𝐸(,𝑝,𝑏)   ()   𝐹()   𝐺()   𝐾(,𝑝)   𝑉(,𝑝,𝑏)

Proof of Theorem evlslem1
Dummy variables 𝑥 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
2 eqid 2610 . . 3 (1r𝑃) = (1r𝑃)
3 eqid 2610 . . 3 (1r𝑆) = (1r𝑆)
4 eqid 2610 . . 3 (.r𝑃) = (.r𝑃)
5 evlslem1.m . . 3 · = (.r𝑆)
6 evlslem1.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
7 evlslem1.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
8 crngring 18381 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
10 evlslem1.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
1110mplring 19273 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
126, 9, 11syl2anc 691 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
13 evlslem1.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
14 crngring 18381 . . . 4 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
16 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑥 = (1r𝑅) → (𝐴𝑥) = (𝐴‘(1r𝑅)))
1716fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑥 = (1r𝑅) → (𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))))
18 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = (1r𝑅) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(1r𝑅)))
1917, 18eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑥 = (1r𝑅) → ((𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))) = (𝐹‘(1r𝑅))))
20 evlslem1.d . . . . . . . . 9 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
21 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
22 evlslem1.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑅)
23 evlslem1.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algSc‘𝑃)
246adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝐼 ∈ V)
259adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
26 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
2710, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26mplascl 19317 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐴𝑥) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅))))
2827fveq2d 6107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)))))
29 evlslem1.c . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑆)
30 evlslem1.t . . . . . . . 8 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
31 evlslem1.x . . . . . . . 8 = (.g𝑇)
32 evlslem1.v . . . . . . . 8 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
33 evlslem1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
347adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ CRing)
3513adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑆 ∈ CRing)
36 evlslem1.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
3736adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
38 evlslem1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
3938adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝐺:𝐼𝐶)
4020psrbag0 19315 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ V → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
416, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
4241adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
4310, 1, 29, 22, 20, 30, 31, 5, 32, 33, 24, 34, 35, 37, 39, 21, 42, 26evlslem3 19335 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)))) = ((𝐹𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺))))
44 0zd 11266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → 0 ∈ ℤ)
45 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺𝑥) ∈ V
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ V)
47 fconstmpt 5085 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0)
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0))
4938feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
506, 44, 46, 48, 49offval2 6812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ (0 (𝐺𝑥))))
5138ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐶)
5230, 29mgpbas 18318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = (Base‘𝑇)
5330, 3ringidval 18326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r𝑆) = (0g𝑇)
5452, 53, 31mulg0 17369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → (0 (𝐺𝑥)) = (1r𝑆))
5551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → (0 (𝐺𝑥)) = (1r𝑆))
5655mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (0 (𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆)))
5750, 56eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆)))
5857oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆))))
5930crngmgp 18378 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
6013, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
61 cmnmnd 18031 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
6353gsumz 17197 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆))) = (1r𝑆))
6462, 6, 63syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (1r𝑆))) = (1r𝑆))
6558, 64eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺)) = (1r𝑆))
6665adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺)) = (1r𝑆))
6766oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝐹𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺))) = ((𝐹𝑥) · (1r𝑆)))
6822, 29rhmf 18549 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐾𝐶)
6936, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐾𝐶)
7069ffvelrnda 6267 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
7129, 5, 3ringridm 18395 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝑥) · (1r𝑆)) = (𝐹𝑥))
7215, 70, 71syl2an2r 872 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝐹𝑥) · (1r𝑆)) = (𝐹𝑥))
7367, 72eqtrd 2644 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝐹𝑥) · (𝑇 Σg ((𝐼 × {0}) ∘𝑓 𝐺))) = (𝐹𝑥))
7428, 43, 733eqtrd 2648 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐹𝑥))
7574ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐾 (𝐸‘(𝐴𝑥)) = (𝐹𝑥))
76 eqid 2610 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
7722, 76ringidcl 18391 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
789, 77syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
7919, 75, 78rspcdva 3288 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))) = (𝐹‘(1r𝑅)))
8010mplassa 19275 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
816, 7, 80syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ AssAlg)
82 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
8323, 82asclrhm 19163 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
8481, 83syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
8510, 6, 7mplsca 19266 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
8685oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 RingHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
8784, 86eleqtrrd 2691 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
8876, 2rhm1 18553 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) → (𝐴‘(1r𝑅)) = (1r𝑃))
8987, 88syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴‘(1r𝑅)) = (1r𝑃))
9089fveq2d 6107 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘(𝐴‘(1r𝑅))) = (𝐸‘(1r𝑃)))
9176, 3rhm1 18553 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
9236, 91syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
9379, 90, 923eqtr3d 2652 . . 3 (𝜑 → (𝐸‘(1r𝑃)) = (1r𝑆))
94 eqid 2610 . . . . 5 (+g𝑃) = (+g𝑃)
95 eqid 2610 . . . . 5 (+g𝑆) = (+g𝑆)
96 ringgrp 18375 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
9712, 96syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
98 ringgrp 18375 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
9915, 98syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
100 eqid 2610 . . . . . . 7 (0g𝑆) = (0g𝑆)
101 ringcmn 18404 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ CMnd)
10215, 101syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ CMnd)
103102adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑆 ∈ CMnd)
104 ovex 6577 . . . . . . . . 9 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
10520, 104rabex2 4742 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ V
106105a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐷 ∈ V)
1076adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐼 ∈ V)
1087adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
10913adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑆 ∈ CRing)
11036adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
11138adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐺:𝐼𝐶)
112 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑝𝐵)
11310, 1, 29, 22, 20, 30, 31, 5, 32, 33, 107, 108, 109, 110, 111, 112evlslem6 19334 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝐵) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
114113simpld 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶)
115113simprd 478 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
11629, 100, 103, 106, 114, 115gsumcl 18139 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) ∈ 𝐶)
117116, 33fmptd 6292 . . . . 5 (𝜑𝐸:𝐵𝐶)
118 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+g𝑅) = (+g𝑅)
119 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑥𝐵)
120 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑦𝐵)
12110, 1, 118, 94, 119, 120mpladd 19263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) = (𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦))
122121fveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦)‘𝑏))
123 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
12410, 22, 1, 20, 123mplelf 19254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥:𝐷𝐾)
125124ffnd 5959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 Fn 𝐷)
126125adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑥 Fn 𝐷)
127 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
12810, 22, 1, 20, 127mplelf 19254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦:𝐷𝐾)
129128ffnd 5959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 Fn 𝐷)
130129adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑦 Fn 𝐷)
131105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐷 ∈ V)
132 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑏𝐷)
133 fnfvof 6809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 Fn 𝐷𝑦 Fn 𝐷) ∧ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑏𝐷)) → ((𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏)))
134126, 130, 131, 132, 133syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑥𝑓 (+g𝑅)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏)))
135122, 134eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏) = ((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏)))
136135fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) = (𝐹‘((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏))))
137 rhmghm 18548 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
13836, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
139138ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
140124ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑥𝑏) ∈ 𝐾)
141128ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑦𝑏) ∈ 𝐾)
14222, 118, 95ghmlin 17488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ (𝑥𝑏) ∈ 𝐾 ∧ (𝑦𝑏) ∈ 𝐾) → (𝐹‘((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏))) = ((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))))
143139, 140, 141, 142syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥𝑏)(+g𝑅)(𝑦𝑏))) = ((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))))
144136, 143eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) = ((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))))
145144oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
14615ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
14769ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐹:𝐾𝐶)
148147, 140ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘(𝑥𝑏)) ∈ 𝐶)
149147, 141ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝐹‘(𝑦𝑏)) ∈ 𝐶)
15060ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
15138ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐺:𝐼𝐶)
1526ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → 𝐼 ∈ V)
15320, 52, 31, 53, 150, 132, 151, 152psrbagev2 19332 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
15429, 95, 5ringdir 18390 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) ∈ 𝐶 ∧ (𝐹‘(𝑦𝑏)) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)) → (((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
155146, 148, 149, 153, 154syl13anc 1320 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → (((𝐹‘(𝑥𝑏))(+g𝑆)(𝐹‘(𝑦𝑏))) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
156145, 155eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
157156mpteq2dva 4672 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
158105a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
159 ovex 6577 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ V
160159a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ V)
161 ovex 6577 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ V
162161a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) ∈ V)
163 eqidd 2611 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
164 eqidd 2611 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
165158, 160, 162, 163, 164offval2 6812 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∘𝑓 (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑏𝐷 ↦ (((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))(+g𝑆)((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
166157, 165eqtr4d 2647 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∘𝑓 (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
167166oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑆 Σg ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∘𝑓 (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))))
168102adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑆 ∈ CMnd)
1696adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐼 ∈ V)
1707adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑅 ∈ CRing)
17113adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑆 ∈ CRing)
17236adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
17338adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺:𝐼𝐶)
17410, 1, 29, 22, 20, 30, 31, 5, 32, 33, 169, 170, 171, 172, 173, 123evlslem6 19334 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
175174simpld 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶)
17610, 1, 29, 22, 20, 30, 31, 5, 32, 33, 169, 170, 171, 172, 173, 127evlslem6 19334 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶 ∧ (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆)))
177176simpld 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))):𝐷𝐶)
178174simprd 478 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
179176simprd 478 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) finSupp (0g𝑆))
18029, 100, 95, 168, 158, 175, 177, 178, 179gsumadd 18146 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑆 Σg ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) ∘𝑓 (+g𝑆)(𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))) = ((𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))(+g𝑆)(𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))))
181167, 180eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = ((𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))(+g𝑆)(𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))))
18297adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
1831, 94grpcl 17253 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
184182, 123, 127, 183syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
185 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝑝𝑏) = ((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏))
186185fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)))
187186oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
188187mpteq2dv 4673 . . . . . . . . 9 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
189188oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑥(+g𝑃)𝑦) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
190 ovex 6577 . . . . . . . 8 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) ∈ V
191189, 33, 190fvmpt 6191 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
192184, 191syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥(+g𝑃)𝑦)‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
193 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑥 → (𝑝𝑏) = (𝑥𝑏))
194193fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘(𝑥𝑏)))
195194oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
196195mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑥 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
197196oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑥 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
198 ovex 6577 . . . . . . . . 9 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) ∈ V
199197, 33, 198fvmpt 6191 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 → (𝐸𝑥) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
200123, 199syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸𝑥) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
201 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑦 → (𝑝𝑏) = (𝑦𝑏))
202201fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘(𝑦𝑏)))
203202oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))) = ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))
204203mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑦 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))
205204oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑦 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
206 ovex 6577 . . . . . . . . 9 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) ∈ V
207205, 33, 206fvmpt 6191 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → (𝐸𝑦) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
208207ad2antll 761 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸𝑦) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))))
209200, 208oveq12d 6567 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐸𝑥)(+g𝑆)(𝐸𝑦)) = ((𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑥𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))(+g𝑆)(𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑦𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺)))))))
210181, 192, 2093eqtr4d 2654 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = ((𝐸𝑥)(+g𝑆)(𝐸𝑦)))
2111, 29, 94, 95, 97, 99, 117, 210isghmd 17492 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑆))
212 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
213212, 30rhmmhm 18545 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
21436, 213syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
215214adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇))
216 simprll 798 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑥𝐵)
21710, 22, 1, 20, 216mplelf 19254 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑥:𝐷𝐾)
218 simprrl 800 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑧𝐷)
219217, 218ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑥𝑧) ∈ 𝐾)
220 simprlr 799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑦𝐵)
22110, 22, 1, 20, 220mplelf 19254 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑦:𝐷𝐾)
222 simprrr 801 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑤𝐷)
223221, 222ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑦𝑤) ∈ 𝐾)
224212, 22mgpbas 18318 . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
225 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
226212, 225mgpplusg 18316 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
22730, 5mgpplusg 18316 . . . . . . . . 9 · = (+g𝑇)
228224, 226, 227mhmlin 17165 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom 𝑇) ∧ (𝑥𝑧) ∈ 𝐾 ∧ (𝑦𝑤) ∈ 𝐾) → (𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) = ((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))))
229215, 219, 223, 228syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) = ((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))))
23062ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
231 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑧𝐷)
23220psrbagf 19186 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑧𝐷) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
2336, 231, 232syl2an2r 872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
234233ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑧𝑣) ∈ ℕ0)
235 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑤𝐷)
23620psrbagf 19186 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑤𝐷) → 𝑤:𝐼⟶ℕ0)
2376, 235, 236syl2an2r 872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑤:𝐼⟶ℕ0)
238237ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑤𝑣) ∈ ℕ0)
23938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐺:𝐼𝐶)
240239ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐶)
24152, 31, 227mulgnn0dir 17394 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ ((𝑧𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝑤𝑣) ∈ ℕ0 ∧ (𝐺𝑣) ∈ 𝐶)) → (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣)) = (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣))))
242230, 234, 238, 240, 241syl13anc 1320 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣)) = (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣))))
243242mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣))) = (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣)))))
2446adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐼 ∈ V)
245 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) ∈ V
246245a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → ((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) ∈ V)
247 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺𝑣) ∈ V
248247a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐺𝑣) ∈ V)
249233ffnd 5959 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑧 Fn 𝐼)
250237ffnd 5959 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑤 Fn 𝐼)
251 inidm 3784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝐼) = 𝐼
252 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑧𝑣) = (𝑧𝑣))
253 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝑤𝑣) = (𝑤𝑣))
254249, 250, 244, 244, 251, 252, 253offval 6802 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧𝑓 + 𝑤) = (𝑣𝐼 ↦ ((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣))))
25538feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 = (𝑣𝐼 ↦ (𝐺𝑣)))
256255adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐺 = (𝑣𝐼 ↦ (𝐺𝑣)))
257244, 246, 248, 254, 256offval2 6812 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺) = (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) + (𝑤𝑣)) (𝐺𝑣))))
258 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) ∈ V
259258a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → ((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) ∈ V)
260 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣)) ∈ V
261260a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣)) ∈ V)
26238ffnd 5959 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
263262adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝐺 Fn 𝐼)
264 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) ∧ 𝑣𝐼) → (𝐺𝑣) = (𝐺𝑣))
265249, 263, 244, 244, 251, 252, 264offval 6802 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧𝑓 𝐺) = (𝑣𝐼 ↦ ((𝑧𝑣) (𝐺𝑣))))
266250, 263, 244, 244, 251, 253, 264offval 6802 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑤𝑓 𝐺) = (𝑣𝐼 ↦ ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣))))
267244, 259, 261, 265, 266offval2 6812 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧𝑓 𝐺) ∘𝑓 · (𝑤𝑓 𝐺)) = (𝑣𝐼 ↦ (((𝑧𝑣) (𝐺𝑣)) · ((𝑤𝑣) (𝐺𝑣)))))
268243, 257, 2673eqtr4d 2654 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺) = ((𝑧𝑓 𝐺) ∘𝑓 · (𝑤𝑓 𝐺)))
269268oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺)) = (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 𝐺) ∘𝑓 · (𝑤𝑓 𝐺))))
27060adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → 𝑇 ∈ CMnd)
27120, 52, 31, 53, 270, 231, 239, 244psrbagev1 19331 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑧𝑓 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝑧𝑓 𝐺) finSupp (1r𝑆)))
272271simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧𝑓 𝐺):𝐼𝐶)
27320, 52, 31, 53, 270, 235, 239, 244psrbagev1 19331 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → ((𝑤𝑓 𝐺):𝐼𝐶 ∧ (𝑤𝑓 𝐺) finSupp (1r𝑆)))
274273simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑤𝑓 𝐺):𝐼𝐶)
275271simprd 478 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑧𝑓 𝐺) finSupp (1r𝑆))
276273simprd 478 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑤𝑓 𝐺) finSupp (1r𝑆))
27752, 53, 227, 270, 244, 272, 274, 275, 276gsumadd 18146 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 𝐺) ∘𝑓 · (𝑤𝑓 𝐺))) = ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺))))
278269, 277eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺)) = ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺))))
279278adantrl 748 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺)) = ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺))))
280229, 279oveq12d 6567 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))))
28160adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑇 ∈ CMnd)
28269adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐹:𝐾𝐶)
283282, 219ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐹‘(𝑥𝑧)) ∈ 𝐶)
284282, 223ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐹‘(𝑦𝑤)) ∈ 𝐶)
28520, 52, 31, 53, 270, 231, 239, 244psrbagev2 19332 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
286285adantrl 748 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
28720, 52, 31, 53, 270, 235, 239, 244psrbagev2 19332 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷)) → (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
288287adantrl 748 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)
28952, 227cmn4 18035 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ CMnd ∧ ((𝐹‘(𝑥𝑧)) ∈ 𝐶 ∧ (𝐹‘(𝑦𝑤)) ∈ 𝐶) ∧ ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)) ∈ 𝐶)) → (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))))
290281, 283, 284, 286, 288, 289syl122anc 1327 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝐹‘(𝑦𝑤))) · ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))))
291280, 290eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))))
2926adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐼 ∈ V)
2937adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑅 ∈ CRing)
29413adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑆 ∈ CRing)
29536adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
29638adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝐺:𝐼𝐶)
29720psrbagaddcl 19191 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑧𝐷𝑤𝐷) → (𝑧𝑓 + 𝑤) ∈ 𝐷)
298292, 218, 222, 297syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝑧𝑓 + 𝑤) ∈ 𝐷)
2999adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → 𝑅 ∈ Ring)
30022, 225ringcl 18384 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝑧) ∈ 𝐾 ∧ (𝑦𝑤) ∈ 𝐾) → ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)) ∈ 𝐾)
301299, 219, 223, 300syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)) ∈ 𝐾)
30210, 1, 29, 22, 20, 30, 31, 5, 32, 33, 292, 293, 294, 295, 296, 21, 298, 301evlslem3 19335 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = (𝑧𝑓 + 𝑤), ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤))) · (𝑇 Σg ((𝑧𝑓 + 𝑤) ∘𝑓 𝐺))))
30310, 1, 29, 22, 20, 30, 31, 5, 32, 33, 292, 293, 294, 295, 296, 21, 218, 219evlslem3 19335 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥𝑧), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺))))
30410, 1, 29, 22, 20, 30, 31, 5, 32, 33, 292, 293, 294, 295, 296, 21, 222, 223evlslem3 19335 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦𝑤), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺))))
305303, 304oveq12d 6567 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → ((𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥𝑧), (0g𝑅)))) · (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦𝑤), (0g𝑅))))) = (((𝐹‘(𝑥𝑧)) · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 𝐺))) · ((𝐹‘(𝑦𝑤)) · (𝑇 Σg (𝑤𝑓 𝐺)))))
306291, 302, 3053eqtr4d 2654 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐷𝑤𝐷))) → (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = (𝑧𝑓 + 𝑤), ((𝑥𝑧)(.r𝑅)(𝑦𝑤)), (0g𝑅)))) = ((𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑧, (𝑥𝑧), (0g𝑅)))) · (𝐸‘(𝑣𝐷 ↦ if(𝑣 = 𝑤, (𝑦𝑤), (0g𝑅))))))
30710, 1, 5, 21, 20, 6, 7, 13, 211, 306evlslem2 19333 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐸‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = ((𝐸𝑥) · (𝐸𝑦)))
3081, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 93, 307, 29, 94, 95, 117, 210isrhmd 18552 . 2 (𝜑𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆))
309 ovex 6577 . . . . . 6 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏𝑓 𝐺))))) ∈ V
310309, 33fnmpti 5935 . . . . 5 𝐸 Fn 𝐵
311310a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐸 Fn 𝐵)
31222, 1rhmf 18549 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) → 𝐴:𝐾𝐵)
31387, 312syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴:𝐾𝐵)
314313ffnd 5959 . . . 4 (𝜑𝐴 Fn 𝐾)
315 frn 5966 . . . . 5 (𝐴:𝐾𝐵 → ran 𝐴𝐵)
316313, 315syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐴𝐵)
317 fnco 5913 . . . 4 ((𝐸 Fn 𝐵𝐴 Fn 𝐾 ∧ ran 𝐴𝐵) → (𝐸𝐴) Fn 𝐾)
318311, 314, 316, 317syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝐴) Fn 𝐾)
31969ffnd 5959 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐾)
320 fvco2 6183 . . . . 5 ((𝐴 Fn 𝐾𝑥𝐾) → ((𝐸𝐴)‘𝑥) = (𝐸‘(𝐴𝑥)))
321314, 320sylan 487 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝐸𝐴)‘𝑥) = (𝐸‘(𝐴𝑥)))
322321, 74eqtrd 2644 . . 3 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝐸𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
323318, 319, 322eqfnfvd 6222 . 2 (𝜑 → (𝐸𝐴) = 𝐹)
32410, 32, 1, 6, 9mvrf2 19313 . . . . 5 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
325324ffnd 5959 . . . 4 (𝜑𝑉 Fn 𝐼)
326 frn 5966 . . . . 5 (𝑉:𝐼𝐵 → ran 𝑉𝐵)
327324, 326syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑉𝐵)
328 fnco 5913 . . . 4 ((𝐸 Fn 𝐵𝑉 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑉𝐵) → (𝐸𝑉) Fn 𝐼)
329311, 325, 327, 328syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝑉) Fn 𝐼)
330 fvco2 6183 . . . . 5 ((𝑉 Fn 𝐼𝑥𝐼) → ((𝐸𝑉)‘𝑥) = (𝐸‘(𝑉𝑥)))
331325, 330sylan 487 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐸𝑉)‘𝑥) = (𝐸‘(𝑉𝑥)))
3326adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼 ∈ V)
3337adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ CRing)
334 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
33532, 20, 21, 76, 332, 333, 334mvrval 19242 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑉𝑥) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))))
336335fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐸‘(𝑉𝑥)) = (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))))
33713adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ∈ CRing)
33836adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
33938adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺:𝐼𝐶)
34020psrbagsn 19316 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ V → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
3416, 340syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
342341adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∈ 𝐷)
34378adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
34410, 1, 29, 22, 20, 30, 31, 5, 32, 33, 332, 333, 337, 338, 339, 21, 342, 343evlslem3 19335 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐸‘(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))) = ((𝐹‘(1r𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺))))
34592adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝑆))
346 1nn0 11185 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
347 0nn0 11184 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
348346, 347keepel 4105 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0
349348a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) ∈ ℕ0)
35038ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐶)
351 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)))
35238feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 = (𝑧𝐼 ↦ (𝐺𝑧)))
3536, 349, 350, 351, 352offval2 6812 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺) = (𝑧𝐼 ↦ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧))))
354 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → (1 (𝐺𝑧)) = (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)))
355354eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . 13 (1 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → ((1 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) ↔ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
356 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → (0 (𝐺𝑧)) = (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)))
357356eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) → ((0 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) ↔ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
358350adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐶)
35952, 31mulg1 17371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑧) ∈ 𝐶 → (1 (𝐺𝑧)) = (𝐺𝑧))
360358, 359syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (1 (𝐺𝑧)) = (𝐺𝑧))
361 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (𝐺𝑧))
362361adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (𝐺𝑧))
363360, 362eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (1 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
36452, 53, 31mulg0 17369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑧) ∈ 𝐶 → (0 (𝐺𝑧)) = (1r𝑆))
365350, 364syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐼) → (0 (𝐺𝑧)) = (1r𝑆))
366365adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → (0 (𝐺𝑧)) = (1r𝑆))
367 iffalse 4045 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
368367adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
369366, 368eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑥) → (0 (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
370355, 357, 363, 369ifbothda 4073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧)) = if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
371370mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑧𝐼 ↦ (if(𝑧 = 𝑥, 1, 0) (𝐺𝑧))) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
372353, 371eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
373372adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))))
374373oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))))
37562adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ Mnd)
376350adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐶)
37729, 3ringidcl 18391 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ Ring → (1r𝑆) ∈ 𝐶)
37815, 377syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r𝑆) ∈ 𝐶)
379378ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → (1r𝑆) ∈ 𝐶)
380376, 379ifcld 4081 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) ∈ 𝐶)
381 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))) = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))
382380, 381fmptd 6292 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))):𝐼𝐶)
383 eldifn 3695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → ¬ 𝑧 ∈ {𝑥})
384 velsn 4141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ {𝑥} ↔ 𝑧 = 𝑥)
385383, 384sylnib 317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → ¬ 𝑧 = 𝑥)
386385, 367syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
387386adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (1r𝑆))
388387, 332suppss2 7216 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆))) supp (1r𝑆)) ⊆ {𝑥})
38952, 53, 375, 332, 334, 382, 388gsumpt 18184 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))) = ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))‘𝑥))
390 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑥))
391361, 390eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)) = (𝐺𝑥))
392391, 381, 45fvmpt 6191 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼 → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
393392adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, (𝐺𝑧), (1r𝑆)))‘𝑥) = (𝐺𝑥))
394374, 389, 3933eqtrd 2648 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺)) = (𝐺𝑥))
395345, 394oveq12d 6567 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹‘(1r𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺))) = ((1r𝑆) · (𝐺𝑥)))
39629, 5, 3ringlidm 18394 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐶) → ((1r𝑆) · (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
39715, 51, 396syl2an2r 872 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((1r𝑆) · (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
398395, 397eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹‘(1r𝑅)) · (𝑇 Σg ((𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)) ∘𝑓 𝐺))) = (𝐺𝑥))
399336, 344, 3983eqtrd 2648 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐸‘(𝑉𝑥)) = (𝐺𝑥))
400331, 399eqtrd 2644 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐸𝑉)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
401329, 262, 400eqfnfvd 6222 . 2 (𝜑 → (𝐸𝑉) = 𝐺)
402308, 323, 4013jca 1235 1 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑃 RingHom 𝑆) ∧ (𝐸𝐴) = 𝐹 ∧ (𝐸𝑉) = 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ◡ccnv 5037  ran crn 5039   “ cima 5041   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  Mndcmnd 17117   MndHom cmhm 17156  Grpcgrp 17245  .gcmg 17363   GrpHom cghm 17480  CMndccmn 18016  mulGrpcmgp 18312  1rcur 18324  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371   RingHom crh 18535  AssAlgcasa 19130  algSccascl 19132   mVar cmvr 19173   mPoly cmpl 19174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-assa 19133  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179 This theorem is referenced by:  evlseu  19337
 Copyright terms: Public domain W3C validator