Theorem mpladd 19263

Description: The addition operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpladd.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mpladd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mpladd.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
mpladd.g	⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
mpladd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mpladd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mpladd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Proof of Theorem mpladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. 2 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2610	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3		mpladd.a	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		mpladd.g	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
5		mpladd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) ∈ V
7	5, 6	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
8		mpladd.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9	8, 1, 5	mplval2 19252	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
10		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
11	9, 10	ressplusg 15818	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑃))
12	7, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑃)
13	4, 12	eqtr4i 2635	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
14	8, 1, 5, 2	mplbasss 19253	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
15		mpladd.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	14, 15	sseldi 3566	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
17		mpladd.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
18	14, 17	sseldi 3566	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
19	1, 2, 3, 13, 16, 18	psradd 19203	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768   mPwSer cmps 19172   mPoly cmpl 19174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-psr 19177  df-mpl 19179

This theorem is referenced by:  mplcoe1  19286  evlslem1  19336  coe1add  19455  mdegaddle  23638