Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isghmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isghmd 17492
 Description: Deduction for a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isghmd.x 𝑋 = (Base‘𝑆)
isghmd.y 𝑌 = (Base‘𝑇)
isghmd.a + = (+g𝑆)
isghmd.b = (+g𝑇)
isghmd.s (𝜑𝑆 ∈ Grp)
isghmd.t (𝜑𝑇 ∈ Grp)
isghmd.f (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
isghmd.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
Assertion
Ref Expression
isghmd (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem isghmd
StepHypRef Expression
1 isghmd.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
2 isghmd.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Grp)
31, 2jca 553 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp))
4 isghmd.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
5 isghmd.l . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
65ralrimivva 2954 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
74, 6jca 553 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦))))
8 isghmd.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝑆)
9 isghmd.y . . 3 𝑌 = (Base‘𝑇)
10 isghmd.a . . 3 + = (+g𝑆)
11 isghmd.b . . 3 = (+g𝑇)
128, 9, 10, 11isghm 17483 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))))
133, 7, 12sylanbrc 695 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Grpcgrp 17245   GrpHom cghm 17480 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-ghm 17481 This theorem is referenced by:  ghmmhmb  17494  resghm  17499  conjghm  17514  qusghm  17520  invoppggim  17613  galactghm  17646  pj1ghm  17939  frgpup1  18011  mulgghm  18057  ghmfghm  18059  invghm  18062  ghmplusg  18072  ringlghm  18427  ringrghm  18428  isrhmd  18552  lmodvsghm  18747  pwssplit2  18881  asclghm  19159  evlslem1  19336  cygznlem3  19737  psgnghm  19745  frlmup1  19956  mat1ghm  20108  scmatghm  20158  mat2pmatghm  20354  pm2mpghm  20440  reefgim  24008  qqhghm  29360  imasgim  36688  isrnghmd  41692  amgmlemALT  42358
 Copyright terms: Public domain W3C validator