Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrhmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isrhmd 18552
 Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isrhmd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isrhmd.o 1 = (1r𝑅)
isrhmd.n 𝑁 = (1r𝑆)
isrhmd.t · = (.r𝑅)
isrhmd.u × = (.r𝑆)
isrhmd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
isrhmd.s (𝜑𝑆 ∈ Ring)
isrhmd.ho (𝜑 → (𝐹1 ) = 𝑁)
isrhmd.ht ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)))
isrhmd.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
isrhmd.p + = (+g𝑅)
isrhmd.q = (+g𝑆)
isrhmd.f (𝜑𝐹:𝐵𝐶)
isrhmd.hp ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
Assertion
Ref Expression
isrhmd (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isrhmd
StepHypRef Expression
1 isrhmd.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 isrhmd.o . 2 1 = (1r𝑅)
3 isrhmd.n . 2 𝑁 = (1r𝑆)
4 isrhmd.t . 2 · = (.r𝑅)
5 isrhmd.u . 2 × = (.r𝑆)
6 isrhmd.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 isrhmd.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
8 isrhmd.ho . 2 (𝜑 → (𝐹1 ) = 𝑁)
9 isrhmd.ht . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)))
10 isrhmd.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑆)
11 isrhmd.p . . 3 + = (+g𝑅)
12 isrhmd.q . . 3 = (+g𝑆)
13 ringgrp 18375 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
146, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
15 ringgrp 18375 . . . 4 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
167, 15syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
17 isrhmd.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐵𝐶)
18 isrhmd.hp . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
191, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 18isghmd 17492 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19isrhm2d 18551 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Grpcgrp 17245  1rcur 18324  Ringcrg 18370   RingHom crh 18535 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mhm 17158  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-rnghom 18538 This theorem is referenced by:  issrngd  18684  evlslem1  19336  qqhrhm  29361
 Copyright terms: Public domain W3C validator