MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrhmd Structured version   Unicode version

Theorem isrhmd 17588
Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isrhmd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
isrhmd.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
isrhmd.n  |-  N  =  ( 1r `  S
)
isrhmd.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
isrhmd.u  |-  .X.  =  ( .r `  S )
isrhmd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
isrhmd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
isrhmd.ho  |-  ( ph  ->  ( F `  .1.  )  =  N )
isrhmd.ht  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x ) 
.X.  ( F `  y ) ) )
isrhmd.c  |-  C  =  ( Base `  S
)
isrhmd.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
isrhmd.q  |-  .+^  =  ( +g  `  S )
isrhmd.f  |-  ( ph  ->  F : B --> C )
isrhmd.hp  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( F `  x ) 
.+^  ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
isrhmd  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y   
x, B, y    x, C, y    x, F, y   
x,  .+ , y    x,  .+^ , y    x, R, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    .x. ( x, y)    .X. ( x, y)    .1. ( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem isrhmd
StepHypRef Expression
1 isrhmd.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 isrhmd.o . 2  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
3 isrhmd.n . 2  |-  N  =  ( 1r `  S
)
4 isrhmd.t . 2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
5 isrhmd.u . 2  |-  .X.  =  ( .r `  S )
6 isrhmd.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 isrhmd.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
8 isrhmd.ho . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  .1.  )  =  N )
9 isrhmd.ht . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x ) 
.X.  ( F `  y ) ) )
10 isrhmd.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  S
)
11 isrhmd.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  R )
12 isrhmd.q . . 3  |-  .+^  =  ( +g  `  S )
13 ringgrp 17413 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
146, 13syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
15 ringgrp 17413 . . . 4  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Grp )
167, 15syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
17 isrhmd.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : B --> C )
18 isrhmd.hp . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( F `  x ) 
.+^  ( F `  y ) ) )
191, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 18isghmd 16490 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R 
GrpHom  S ) )
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19isrhm2d 17587 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Basecbs 14731   +g cplusg 14799   .rcmulr 14800   Grpcgrp 16267   1rcur 17363   Ringcrg 17408   RingHom crh 17571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-plusg 14812  df-0g 14946  df-mhm 16180  df-ghm 16479  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-rnghom 17574
This theorem is referenced by:  issrngd  17720  evlslem1  18394  qqhrhm  28303
  Copyright terms: Public domain W3C validator