Theorem psrbagsn 19316

Description: A singleton bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag0.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagsn	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem psrbagsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11185	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		0nn0 11184	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	keepel 4105	. . . . . 6 ⊢ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ0)
5		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0))
6	4, 5	fmptd 6292	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0)
7	6	trud 1484	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0
8	5	mptpreima 5545	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ}
9		snfi 7923	. . . . . 6 ⊢ {𝐾} ∈ Fin
10		inss1 3795	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∩ 𝐼) ⊆ {𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾}
11		dfrab2 3862	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} = ({𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∩ 𝐼)
12		df-sn 4126	. . . . . . 7 ⊢ {𝐾} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 𝐾}
13	10, 11, 12	3sstr4i 3607	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ⊆ {𝐾}
14		ssfi 8065	. . . . . 6 ⊢ (({𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ⊆ {𝐾}) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∈ Fin)
15	9, 13, 14	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∈ Fin
16		0nnn 10929	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
17		iffalse 4045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐾 → if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) = 0)
18	17	eleq1d 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐾 → (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
19	16, 18	mtbiri 316	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐾 → ¬ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ)
20	19	con4i 112	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐾)
21	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐾))
22	21	ss2rabi 3647	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾}
23		ssfi 8065	. . . . 5 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 = 𝐾}) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ∈ Fin)
24	15, 22, 23	mp2an 704	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ∈ Fin
25	8, 24	eqeltri 2684	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin
26	7, 25	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
27		psrbag0.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
28	27	psrbag 19185	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
29	26, 28	mpbiri 247	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977  {cab 2596  {crab 2900   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  ^◡ccnv 5037   “ cima 5041  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170

This theorem is referenced by:  evlslem1  19336