Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagsn 19316
 Description: A singleton bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag0.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagsn (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem psrbagsn
StepHypRef Expression
1 1nn0 11185 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
2 0nn0 11184 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
31, 2keepel 4105 . . . . . 6 if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝐼) → if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ0)
5 eqid 2610 . . . . 5 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0))
64, 5fmptd 6292 . . . 4 (⊤ → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0)
76trud 1484 . . 3 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0
85mptpreima 5545 . . . 4 ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) = {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ}
9 snfi 7923 . . . . . 6 {𝐾} ∈ Fin
10 inss1 3795 . . . . . . 7 ({𝑥𝑥 = 𝐾} ∩ 𝐼) ⊆ {𝑥𝑥 = 𝐾}
11 dfrab2 3862 . . . . . . 7 {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} = ({𝑥𝑥 = 𝐾} ∩ 𝐼)
12 df-sn 4126 . . . . . . 7 {𝐾} = {𝑥𝑥 = 𝐾}
1310, 11, 123sstr4i 3607 . . . . . 6 {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ⊆ {𝐾}
14 ssfi 8065 . . . . . 6 (({𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ⊆ {𝐾}) → {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ∈ Fin)
159, 13, 14mp2an 704 . . . . 5 {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ∈ Fin
16 0nnn 10929 . . . . . . . . 9 ¬ 0 ∈ ℕ
17 iffalse 4045 . . . . . . . . . 10 𝑥 = 𝐾 → if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) = 0)
1817eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 𝑥 = 𝐾 → (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
1916, 18mtbiri 316 . . . . . . . 8 𝑥 = 𝐾 → ¬ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ)
2019con4i 112 . . . . . . 7 (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐾)
2120a1i 11 . . . . . 6 (𝑥𝐼 → (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐾))
2221ss2rabi 3647 . . . . 5 {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ⊆ {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾}
23 ssfi 8065 . . . . 5 (({𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ⊆ {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾}) → {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ∈ Fin)
2415, 22, 23mp2an 704 . . . 4 {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ∈ Fin
258, 24eqeltri 2684 . . 3 ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin
267, 25pm3.2i 470 . 2 ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
27 psrbag0.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2827psrbag 19185 . 2 (𝐼𝑉 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
2926, 28mpbiri 247 1 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977  {cab 2596  {crab 2900   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037   “ cima 5041  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170 This theorem is referenced by:  evlslem1  19336
 Copyright terms: Public domain W3C validator