MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagsn Structured version   Unicode version

Theorem psrbagsn 17553
Description: A singleton bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag0.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbagsn  |-  ( I  e.  V  ->  (
x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
Distinct variable groups:    f, I, x    f, K, x
Allowed substitution hints:    D( x, f)    V( x, f)

Proof of Theorem psrbagsn
StepHypRef Expression
1 1nn0 10591 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
2 0nn0 10590 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
31, 2keepel 3854 . . . . . 6  |-  if ( x  =  K , 
1 ,  0 )  e.  NN0
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  I )  ->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN0 )
5 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K , 
1 ,  0 ) )  =  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K , 
1 ,  0 ) )
64, 5fmptd 5864 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) ) : I --> NN0 )
76trud 1373 . . 3  |-  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K , 
1 ,  0 ) ) : I --> NN0
85mptpreima 5328 . . . 4  |-  ( `' ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) ) " NN )  =  {
x  e.  I  |  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN }
9 snfi 7386 . . . . . 6  |-  { K }  e.  Fin
10 inss1 3567 . . . . . . 7  |-  ( { x  |  x  =  K }  i^i  I
)  C_  { x  |  x  =  K }
11 dfrab2 3623 . . . . . . 7  |-  { x  e.  I  |  x  =  K }  =  ( { x  |  x  =  K }  i^i  I )
12 df-sn 3875 . . . . . . 7  |-  { K }  =  { x  |  x  =  K }
1310, 11, 123sstr4i 3392 . . . . . 6  |-  { x  e.  I  |  x  =  K }  C_  { K }
14 ssfi 7529 . . . . . 6  |-  ( ( { K }  e.  Fin  /\  { x  e.  I  |  x  =  K }  C_  { K } )  ->  { x  e.  I  |  x  =  K }  e.  Fin )
159, 13, 14mp2an 667 . . . . 5  |-  { x  e.  I  |  x  =  K }  e.  Fin
16 0nnn 10349 . . . . . . . . 9  |-  -.  0  e.  NN
17 iffalse 3796 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  =  K  ->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  =  0 )
1817eleq1d 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  =  K  -> 
( if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN  <->  0  e.  NN ) )
1916, 18mtbiri 303 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  =  K  ->  -.  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN )
2019con4i 130 . . . . . . 7  |-  ( if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN  ->  x  =  K )
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  I  ->  ( if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN  ->  x  =  K ) )
2221ss2rabi 3431 . . . . 5  |-  { x  e.  I  |  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN }  C_ 
{ x  e.  I  |  x  =  K }
23 ssfi 7529 . . . . 5  |-  ( ( { x  e.  I  |  x  =  K }  e.  Fin  /\  {
x  e.  I  |  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN }  C_  { x  e.  I  |  x  =  K } )  ->  { x  e.  I  |  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN }  e.  Fin )
2415, 22, 23mp2an 667 . . . 4  |-  { x  e.  I  |  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN }  e.  Fin
258, 24eqeltri 2511 . . 3  |-  ( `' ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin
267, 25pm3.2i 452 . 2  |-  ( ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin )
27 psrbag0.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
2827psrbag 17409 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) )  e.  D  <->  ( ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K , 
1 ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
2926, 28mpbiri 233 1  |-  ( I  e.  V  ->  (
x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1761   {cab 2427   {crab 2717    i^i cin 3324    C_ wss 3325   ifcif 3788   {csn 3874    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   "cima 4839   -->wf 5411  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   Fincfn 7306   0cc0 9278   1c1 9279   NNcn 10318   NN0cn0 10575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576
This theorem is referenced by:  evlslem1  17577
  Copyright terms: Public domain W3C validator