MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagsn Structured version   Unicode version

Theorem psrbagsn 18028
Description: A singleton bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag0.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbagsn  |-  ( I  e.  V  ->  (
x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
Distinct variable groups:    f, I, x    f, K, x
Allowed substitution hints:    D( x, f)    V( x, f)

Proof of Theorem psrbagsn
StepHypRef Expression
1 1nn0 10823 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
2 0nn0 10822 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
31, 2keepel 4013 . . . . . 6  |-  if ( x  =  K , 
1 ,  0 )  e.  NN0
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  I )  ->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN0 )
5 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K , 
1 ,  0 ) )  =  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K , 
1 ,  0 ) )
64, 5fmptd 6056 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) ) : I --> NN0 )
76trud 1388 . . 3  |-  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K , 
1 ,  0 ) ) : I --> NN0
85mptpreima 5506 . . . 4  |-  ( `' ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) ) " NN )  =  {
x  e.  I  |  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN }
9 snfi 7608 . . . . . 6  |-  { K }  e.  Fin
10 inss1 3723 . . . . . . 7  |-  ( { x  |  x  =  K }  i^i  I
)  C_  { x  |  x  =  K }
11 dfrab2 3779 . . . . . . 7  |-  { x  e.  I  |  x  =  K }  =  ( { x  |  x  =  K }  i^i  I )
12 df-sn 4034 . . . . . . 7  |-  { K }  =  { x  |  x  =  K }
1310, 11, 123sstr4i 3548 . . . . . 6  |-  { x  e.  I  |  x  =  K }  C_  { K }
14 ssfi 7752 . . . . . 6  |-  ( ( { K }  e.  Fin  /\  { x  e.  I  |  x  =  K }  C_  { K } )  ->  { x  e.  I  |  x  =  K }  e.  Fin )
159, 13, 14mp2an 672 . . . . 5  |-  { x  e.  I  |  x  =  K }  e.  Fin
16 0nnn 10579 . . . . . . . . 9  |-  -.  0  e.  NN
17 iffalse 3954 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  =  K  ->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  =  0 )
1817eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  =  K  -> 
( if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN  <->  0  e.  NN ) )
1916, 18mtbiri 303 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  =  K  ->  -.  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN )
2019con4i 130 . . . . . . 7  |-  ( if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN  ->  x  =  K )
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  I  ->  ( if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN  ->  x  =  K ) )
2221ss2rabi 3587 . . . . 5  |-  { x  e.  I  |  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN }  C_ 
{ x  e.  I  |  x  =  K }
23 ssfi 7752 . . . . 5  |-  ( ( { x  e.  I  |  x  =  K }  e.  Fin  /\  {
x  e.  I  |  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN }  C_  { x  e.  I  |  x  =  K } )  ->  { x  e.  I  |  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN }  e.  Fin )
2415, 22, 23mp2an 672 . . . 4  |-  { x  e.  I  |  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN }  e.  Fin
258, 24eqeltri 2551 . . 3  |-  ( `' ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin
267, 25pm3.2i 455 . 2  |-  ( ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin )
27 psrbag0.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
2827psrbag 17881 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) )  e.  D  <->  ( ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K , 
1 ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
2926, 28mpbiri 233 1  |-  ( I  e.  V  ->  (
x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767   {cab 2452   {crab 2821    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ifcif 3945   {csn 4033    |-> cmpt 4511   `'ccnv 5004   "cima 5008   -->wf 5590  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   Fincfn 7528   0cc0 9504   1c1 9505   NNcn 10548   NN0cn0 10807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808
This theorem is referenced by:  evlslem1  18052
  Copyright terms: Public domain W3C validator