MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagsn Structured version   Unicode version

Theorem psrbagsn 17592
Description: A singleton bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag0.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
Assertion
Ref Expression
psrbagsn  |-  ( I  e.  V  ->  (
x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
Distinct variable groups:    f, I, x    f, K, x
Allowed substitution hints:    D( x, f)    V( x, f)

Proof of Theorem psrbagsn
StepHypRef Expression
1 1nn0 10610 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
2 0nn0 10609 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
31, 2keepel 3872 . . . . . 6  |-  if ( x  =  K , 
1 ,  0 )  e.  NN0
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  I )  ->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN0 )
5 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K , 
1 ,  0 ) )  =  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K , 
1 ,  0 ) )
64, 5fmptd 5882 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) ) : I --> NN0 )
76trud 1378 . . 3  |-  ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K , 
1 ,  0 ) ) : I --> NN0
85mptpreima 5346 . . . 4  |-  ( `' ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) ) " NN )  =  {
x  e.  I  |  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN }
9 snfi 7405 . . . . . 6  |-  { K }  e.  Fin
10 inss1 3585 . . . . . . 7  |-  ( { x  |  x  =  K }  i^i  I
)  C_  { x  |  x  =  K }
11 dfrab2 3641 . . . . . . 7  |-  { x  e.  I  |  x  =  K }  =  ( { x  |  x  =  K }  i^i  I )
12 df-sn 3893 . . . . . . 7  |-  { K }  =  { x  |  x  =  K }
1310, 11, 123sstr4i 3410 . . . . . 6  |-  { x  e.  I  |  x  =  K }  C_  { K }
14 ssfi 7548 . . . . . 6  |-  ( ( { K }  e.  Fin  /\  { x  e.  I  |  x  =  K }  C_  { K } )  ->  { x  e.  I  |  x  =  K }  e.  Fin )
159, 13, 14mp2an 672 . . . . 5  |-  { x  e.  I  |  x  =  K }  e.  Fin
16 0nnn 10368 . . . . . . . . 9  |-  -.  0  e.  NN
17 iffalse 3814 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  =  K  ->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  =  0 )
1817eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  =  K  -> 
( if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN  <->  0  e.  NN ) )
1916, 18mtbiri 303 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  =  K  ->  -.  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN )
2019con4i 130 . . . . . . 7  |-  ( if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN  ->  x  =  K )
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  I  ->  ( if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN  ->  x  =  K ) )
2221ss2rabi 3449 . . . . 5  |-  { x  e.  I  |  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN }  C_ 
{ x  e.  I  |  x  =  K }
23 ssfi 7548 . . . . 5  |-  ( ( { x  e.  I  |  x  =  K }  e.  Fin  /\  {
x  e.  I  |  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN }  C_  { x  e.  I  |  x  =  K } )  ->  { x  e.  I  |  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN }  e.  Fin )
2415, 22, 23mp2an 672 . . . 4  |-  { x  e.  I  |  if ( x  =  K ,  1 ,  0 )  e.  NN }  e.  Fin
258, 24eqeltri 2513 . . 3  |-  ( `' ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin
267, 25pm3.2i 455 . 2  |-  ( ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin )
27 psrbag0.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
2827psrbag 17446 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) )  e.  D  <->  ( ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K , 
1 ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
2926, 28mpbiri 233 1  |-  ( I  e.  V  ->  (
x  e.  I  |->  if ( x  =  K ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756   {cab 2429   {crab 2734    i^i cin 3342    C_ wss 3343   ifcif 3806   {csn 3892    e. cmpt 4365   `'ccnv 4854   "cima 4858   -->wf 5429  (class class class)co 6106    ^m cmap 7229   Fincfn 7325   0cc0 9297   1c1 9298   NNcn 10337   NN0cn0 10594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-er 7116  df-map 7231  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-n0 10595
This theorem is referenced by:  evlslem1  17616
  Copyright terms: Public domain W3C validator