MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmf 18549
Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmf.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
rhmf (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)

Proof of Theorem rhmf
StepHypRef Expression
1 rhmghm 18548 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2 rhmf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rhmf.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑆)
42, 3ghmf 17487 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)
51, 4syl 17 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   GrpHom cghm 17480   RingHom crh 18535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mhm 17158  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-rnghom 18538
This theorem is referenced by:  rhmf1o  18555  kerf1hrm  18566  srngf1o  18677  evlslem6  19334  evlslem3  19335  evlslem1  19336  evlseu  19337  mpfconst  19351  mpfproj  19352  mpfsubrg  19353  mpfind  19357  evls1val  19506  evls1sca  19509  evl1val  19514  fveval1fvcl  19518  evl1addd  19526  evl1subd  19527  evl1muld  19528  evl1expd  19530  pf1const  19531  pf1id  19532  pf1subrg  19533  mpfpf1  19536  pf1mpf  19537  pf1ind  19540  mulgrhm2  19666  chrrhm  19698  domnchr  19699  znf1o  19719  znidomb  19729  ply1remlem  23726  ply1rem  23727  fta1glem1  23729  fta1glem2  23730  fta1g  23731  fta1blem  23732  plypf1  23772  dchrzrhmul  24771  lgsqrlem1  24871  lgsqrlem2  24872  lgsqrlem3  24873  lgseisenlem3  24902  lgseisenlem4  24903  rhmdvdsr  29149  rhmopp  29150  rhmdvd  29152  kerunit  29154  mdetlap  29226  pl1cn  29329  zrhunitpreima  29350  elzrhunit  29351  qqhval2lem  29353  qqhf  29358  qqhghm  29360  qqhrhm  29361  qqhnm  29362  idomrootle  36792  elringchom  41806  rhmsscmap2  41811  rhmsscmap  41812  rhmsubcsetclem2  41814  rhmsubcrngclem2  41820  ringcsect  41823  ringcinv  41824  funcringcsetc  41827  funcringcsetcALTV2lem8  41835  funcringcsetcALTV2lem9  41836  elringchomALTV  41841  ringcinvALTV  41848  funcringcsetclem8ALTV  41858  funcringcsetclem9ALTV  41859  zrtermoringc  41862  rhmsubclem4  41881
  Copyright terms: Public domain W3C validator