Theorem cntzsubr 18635

Description: Centralizers in a ring are subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzsubr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsubr.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsubr.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzsubr	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsubr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzsubr.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		cntzsubr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 18318	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4		cntzsubr.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
5	3, 4	cntzssv 17584	. . . 4 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵)
7		simpll 786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
8		ssel2 3563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
9	8	adantll 746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
10		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
12	2, 10, 11	ringlz 18410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
13	7, 9, 12	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
14	2, 10, 11	ringrz 18411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
15	7, 9, 14	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
16	13, 15	eqtr4d 2647	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
17	16	ralrimiva 2949	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
18		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
19	2, 11	ring0cl 18392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
21	1, 10	mgpplusg 18316	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
22	3, 21, 4	cntzel 17579	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅))))
23	18, 20, 22	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(0g‘𝑅))))
24	17, 23	mpbird 246	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆))
25		ne0i 3880	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑍‘𝑆) ≠ ∅)
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ≠ ∅)
27		simpl2 1058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
28		simpr 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
29	21, 4	cntzi 17585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
30	27, 28, 29	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
31		simpl3 1059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆))
32	21, 4	cntzi 17585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
33	31, 28, 32	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑦))
34	30, 33	oveq12d 6567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
35		simpl1l 1105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
36	5, 27	sseldi 3566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
37	5, 31	sseldi 3566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
38		simp1r 1079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
39	38	sselda 3568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
40		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
41	2, 40, 10	ringdir 18390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
42	35, 36, 37, 39, 41	syl13anc 1320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
43	2, 40, 10	ringdi 18389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
44	35, 39, 36, 37, 43	syl13anc 1320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑦)))
45	34, 42, 44	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
46	45	ralrimiva 2949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
47		simp1l 1078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
48		simp2 1055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
49	5, 48	sseldi 3566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
50		simp3 1056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆))
51	5, 50	sseldi 3566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
52	2, 40	ringacl 18401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
53	47, 49, 51, 52	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
54	3, 21, 4	cntzel 17579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
55	38, 53, 54	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦))))
56	46, 55	mpbird 246	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
57	56	3expa 1257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
58	57	ralrimiva 2949	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆))
59	29	adantll 746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)𝑥))
60	59	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
61		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
62		simplll 794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
63		simplr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
64	5, 63	sseldi 3566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
65		simplr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
66	65	sselda 3568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
67	2, 10, 61, 62, 64, 66	ringmneg1 18419	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = ((invg‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)))
68	2, 10, 61, 62, 66, 64	ringmneg2 18420	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑧(.r‘𝑅)𝑥)))
69	60, 67, 68	3eqtr4d 2654	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)))
70	69	ralrimiva 2949	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥)))
71		ringgrp 18375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
72	71	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
73		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
74	5, 73	sseldi 3566	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
75	2, 61	grpinvcl 17290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
76	72, 74, 75	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
77	3, 21, 4	cntzel 17579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))))
78	65, 76, 77	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((invg‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑧(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑥))))
79	70, 78	mpbird 246	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆))
80	58, 79	jca 553	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
81	80	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
82	71	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
83	2, 40, 61	issubg2 17432	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))))
84	82, 83	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍‘𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍‘𝑆)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))))
85	6, 26, 81, 84	mpbir3and 1238	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅))
86	1	ringmgp 18376	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
87	3, 4	cntzsubm 17591	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))
88	86, 87	sylan 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))
89	1	issubrg3 18631	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑍‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))))
90	89	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑍‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))))
91	85, 88, 90	mpbir2and 959	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  ._rcmulr 15769  0_gc0g 15923  Mndcmnd 17117  SubMndcsubmnd 17157  Grpcgrp 17245  inv_gcminusg 17246  SubGrpcsubg 17411  Cntzccntz 17571  mulGrpcmgp 18312  Ringcrg 18370  SubRingcsubrg 18599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601

This theorem is referenced by:  cntzsdrg  36791