Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  invginvrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invginvrid 41942
 Description: Identity for a multiplication with additive and multiplicative inverses in a ring. (Contributed by AV, 18-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
invginvrid.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
invginvrid.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invginvrid.n 𝑁 = (invg𝑅)
invginvrid.i 𝐼 = (invr𝑅)
invginvrid.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
invginvrid ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑁𝑌) · ((𝐼‘(𝑁𝑌)) · 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem invginvrid
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 18376 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
323ad2ant1 1075 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4 ringgrp 18375 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5 invginvrid.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 invginvrid.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
75, 6unitcl 18482 . . . . 5 (𝑌𝑈𝑌𝐵)
8 invginvrid.n . . . . . 6 𝑁 = (invg𝑅)
95, 8grpinvcl 17290 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
104, 7, 9syl2an 493 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
11103adant2 1073 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
126, 8unitnegcl 18504 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → (𝑁𝑌) ∈ 𝑈)
13 invginvrid.i . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
146, 13, 5ringinvcl 18499 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝑌) ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝑁𝑌)) ∈ 𝐵)
1512, 14syldan 486 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → (𝐼‘(𝑁𝑌)) ∈ 𝐵)
16153adant2 1073 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝐼‘(𝑁𝑌)) ∈ 𝐵)
17 simp2 1055 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑋𝐵)
181, 5mgpbas 18318 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
19 invginvrid.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
201, 19mgpplusg 18316 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
2118, 20mndass 17125 . . . 4 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝑁𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘(𝑁𝑌)) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → (((𝑁𝑌) · (𝐼‘(𝑁𝑌))) · 𝑋) = ((𝑁𝑌) · ((𝐼‘(𝑁𝑌)) · 𝑋)))
2221eqcomd 2616 . . 3 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝑁𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘(𝑁𝑌)) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑁𝑌) · ((𝐼‘(𝑁𝑌)) · 𝑋)) = (((𝑁𝑌) · (𝐼‘(𝑁𝑌))) · 𝑋))
233, 11, 16, 17, 22syl13anc 1320 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑁𝑌) · ((𝐼‘(𝑁𝑌)) · 𝑋)) = (((𝑁𝑌) · (𝐼‘(𝑁𝑌))) · 𝑋))
24 simp1 1054 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
25123adant2 1073 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑁𝑌) ∈ 𝑈)
26 eqid 2610 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
276, 13, 19, 26unitrinv 18501 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑁𝑌) · (𝐼‘(𝑁𝑌))) = (1r𝑅))
2824, 25, 27syl2anc 691 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑁𝑌) · (𝐼‘(𝑁𝑌))) = (1r𝑅))
2928oveq1d 6564 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (((𝑁𝑌) · (𝐼‘(𝑁𝑌))) · 𝑋) = ((1r𝑅) · 𝑋))
305, 19, 26ringlidm 18394 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
31303adant3 1074 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
3223, 29, 313eqtrd 2648 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑁𝑌) · ((𝐼‘(𝑁𝑌)) · 𝑋)) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  Mndcmnd 17117  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  mulGrpcmgp 18312  1rcur 18324  Ringcrg 18370  Unitcui 18462  invrcinvr 18494 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495 This theorem is referenced by:  lincresunit3lem1  42062
 Copyright terms: Public domain W3C validator