Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cznrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cznrng 41747
 Description: The ring constructed from a ℤ/nℤ structure by replacing the (multiplicative) ring operation by a constant operation is a non-unital ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cznrng.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cznrng.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
cznrng.x 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
cznrng.0 0 = (0g𝑌)
Assertion
Ref Expression
cznrng ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑋 ∈ Rng)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cznrng
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11176 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 cznrng.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
32zncrng 19712 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ CRing)
5 crngring 18381 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
6 cznrng.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
7 cznrng.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑌)
86, 7ring0cl 18392 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Ring → 0𝐵)
9 eleq1a 2683 . . . . . . 7 ( 0𝐵 → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
115, 10syl 17 . . . . 5 (𝑌 ∈ CRing → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
124, 11syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐶 = 0𝐶𝐵))
1312imp 444 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝐶𝐵)
14 cznrng.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)
152, 6, 14cznabel 41746 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
1615adantlr 747 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑋 ∈ Abel)
17 eqid 2610 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘𝑋)
182, 6, 14cznrnglem 41745 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑋)
1917, 18mgpbas 18318 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑋))
2014fveq2i 6106 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑋) = (mulGrp‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
21 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ V
222, 21eqeltri 2684 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V
23 fvex 6113 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑌) ∈ V
246, 23eqeltri 2684 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
2524, 24mpt2ex 7136 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V
26 mulrid 15822 . . . . . . . . 9 .r = Slot (.r‘ndx)
2726setsid 15742 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ V ∧ (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)))
2822, 25, 27mp2an 704 . . . . . . 7 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
2920, 28mgpplusg 18316 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝑋))
3029eqcomi 2619 . . . . 5 (+g‘(mulGrp‘𝑋)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
31 ne0i 3880 . . . . . 6 (𝐶𝐵𝐵 ≠ ∅)
3231adantl 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
33 simpr 476 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
3419, 30, 32, 33copissgrp 41598 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → (mulGrp‘𝑋) ∈ SGrp)
35 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 0 → (𝐶(+g𝑌)𝐶) = ( 0 (+g𝑌)𝐶))
3635ad3antlr 763 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝐶(+g𝑌)𝐶) = ( 0 (+g𝑌)𝐶))
374, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Ring)
38 ringmnd 18379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Mnd)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑌 ∈ Mnd)
4039adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑌 ∈ Mnd)
4140anim1i 590 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶𝐵))
4241adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶𝐵))
43 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (+g𝑌) = (+g𝑌)
446, 43, 7mndlid 17134 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝐶𝐵) → ( 0 (+g𝑌)𝐶) = 𝐶)
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ( 0 (+g𝑌)𝐶) = 𝐶)
4636, 45eqtrd 2644 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝐶(+g𝑌)𝐶) = 𝐶)
47 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶))
48 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → 𝐶 = 𝐶)
49 simpr1 1060 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑎𝐵)
50 simpr2 1061 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑏𝐵)
5133adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝐶𝐵)
5247, 48, 49, 50, 51ovmpt2d 6686 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) = 𝐶)
53 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
54 simpr3 1062 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑐𝐵)
5547, 53, 49, 54, 51ovmpt2d 6686 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝐶)
5652, 55oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) = (𝐶(+g𝑌)𝐶))
57 eqidd 2611 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = (𝑏(+g𝑌)𝑐))) → 𝐶 = 𝐶)
5837ad3antrrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑌 ∈ Ring)
596, 43ringacl 18401 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑏(+g𝑌)𝑐) ∈ 𝐵)
6058, 50, 54, 59syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑏(+g𝑌)𝑐) ∈ 𝐵)
6147, 57, 49, 60, 51ovmpt2d 6686 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = 𝐶)
6246, 56, 613eqtr4rd 2655 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))
63 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
6447, 63, 50, 54, 51ovmpt2d 6686 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝐶)
6555, 64oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) = (𝐶(+g𝑌)𝐶))
66 eqidd 2611 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ (𝑥 = (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∧ 𝑦 = 𝑐)) → 𝐶 = 𝐶)
676, 43ringacl 18401 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
6858, 49, 50, 67syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
6947, 66, 68, 54, 51ovmpt2d 6686 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = 𝐶)
7046, 65, 693eqtr4rd 2655 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))
7162, 70jca 553 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐))))
7271ralrimivvva 2955 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐))))
7316, 34, 723jca 1235 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) ∧ 𝐶𝐵) → (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ SGrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))))
7413, 73mpdan 699 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ SGrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))))
75 plusgid 15804 . . . . 5 +g = Slot (+g‘ndx)
76 plusgndxnmulrndx 41743 . . . . 5 (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
7775, 76setsnid 15743 . . . 4 (+g𝑌) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
7814fveq2i 6106 . . . 4 (+g𝑋) = (+g‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩))
7977, 78eqtr4i 2635 . . 3 (+g𝑌) = (+g𝑋)
8014eqcomi 2619 . . . . 5 (𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩) = 𝑋
8180fveq2i 6106 . . . 4 (.r‘(𝑌 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)⟩)) = (.r𝑋)
8228, 81eqtri 2632 . . 3 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (.r𝑋)
8318, 17, 79, 82isrng 41666 . 2 (𝑋 ∈ Rng ↔ (𝑋 ∈ Abel ∧ (mulGrp‘𝑋) ∈ SGrp ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)(𝑏(+g𝑌)𝑐)) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏)(+g𝑌)(𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)) ∧ ((𝑎(+g𝑌)𝑏)(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐) = ((𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)(+g𝑌)(𝑏(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑐)))))
8474, 83sylibr 223 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 = 0 ) → 𝑋 ∈ Rng)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  SGrpcsgrp 17106  Mndcmnd 17117  Abelcabl 18017  mulGrpcmgp 18312  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  ℤ/nℤczn 19670  Rngcrng 41664 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zn 19674  df-rng0 41665 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator