MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpplusg Unicode version

Theorem mgpplusg 15607
Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpval.1  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mgpval.2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
mgpplusg  |-  .x.  =  ( +g  `  M )

Proof of Theorem mgpplusg
StepHypRef Expression
1 mgpval.2 . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  e. 
_V
31, 2eqeltri 2474 . . . 4  |-  .x.  e.  _V
4 plusgid 13519 . . . . 5  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
54setsid 13463 . . . 4  |-  ( ( R  e.  _V  /\  .x. 
e.  _V )  ->  .x.  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  .x.  >. )
) )
63, 5mpan2 653 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  .x.  >. )
) )
7 mgpval.1 . . . . 5  |-  M  =  (mulGrp `  R )
87, 1mgpval 15606 . . . 4  |-  M  =  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) , 
.x.  >. )
98fveq2i 5690 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  ( R sSet  <. ( +g  `  ndx ) ,  .x.  >. )
)
106, 9syl6eqr 2454 . 2  |-  ( R  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  M ) )
114str0 13460 . . 3  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
12 fvprc 5681 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( .r `  R )  =  (/) )
131, 12syl5eq 2448 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  .x.  =  (/) )
14 fvprc 5681 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (mulGrp `  R )  =  (/) )
157, 14syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  M  =  (/) )
1615fveq2d 5691 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  (/) ) )
1711, 13, 163eqtr4a 2462 . 2  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  .x.  =  ( +g  `  M
) )
1810, 17pm2.61i 158 1  |-  .x.  =  ( +g  `  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   (/)c0 3588   <.cop 3777   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ndxcnx 13421   sSet csts 13422   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485  mulGrpcmgp 15603
This theorem is referenced by:  dfur2  15622  rngcl  15632  crngcom  15633  iscrng2  15634  rngass  15635  rngideu  15636  rngidmlem  15641  isrngid  15644  rngidss  15645  rngpropd  15650  crngpropd  15651  isrngd  15653  iscrngd  15654  prdsmgp  15671  oppr1  15694  unitgrp  15727  unitlinv  15737  unitrinv  15738  rngidpropd  15755  invrpropd  15758  dfrhm2  15776  rhmmul  15783  isrhm2d  15784  isdrng2  15800  drngmcl  15803  drngid2  15806  isdrngd  15815  subrgugrp  15842  issubrg3  15851  cntzsubr  15855  rhmpropd  15858  rlmscaf  16234  sraassa  16339  psrcrng  16431  mplcoe3  16484  mplcoe2  16485  mplbas2  16486  coe1tm  16620  ply1coe  16639  xrsmcmn  16679  cnfldexp  16689  cnmsubglem  16716  expmhm  16731  expghm  16732  cnmpt1mulr  18164  cnmpt2mulr  18165  evlslem1  19889  mpfind  19918  reefgim  20319  amgm  20782  wilthlem2  20805  wilthlem3  20806  dchrelbas3  20975  dchrzrhmul  20983  dchrmulcl  20986  dchrn0  20987  dchrinvcl  20990  dchrptlem2  21002  dchrsum2  21005  sum2dchr  21011  lgseisenlem3  21088  lgseisenlem4  21089  rdivmuldivd  24180  rnginvval  24181  dvrcan5  24182  rhmunitinv  24213  iistmd  24253  xrge0iifmhm  24278  xrge0pluscn  24279  psgnghm  27305  rngvcl  27321  mamuvs2  27332  cntzsdrg  27378  isdomn3  27391  mon1psubm  27393  deg1mhm  27394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mgp 15604
  Copyright terms: Public domain W3C validator