Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrptlem2 24790
 Description: Lemma for dchrpt 24792. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1 1 = (1r𝑍)
dchrpt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1 (𝜑𝐴1 )
dchrpt.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrpt.h 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
dchrpt.m · = (.g𝐻)
dchrpt.s 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
dchrpt.au (𝜑𝐴𝑈)
dchrpt.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
dchrpt.2 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
dchrpt.3 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
dchrpt.p 𝑃 = (𝐻dProj𝑆)
dchrpt.o 𝑂 = (od‘𝐻)
dchrpt.t 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
dchrpt.i (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
dchrpt.4 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
dchrpt.5 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
Assertion
Ref Expression
dchrptlem2 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
Distinct variable groups:   ,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥, 1   𝑢,,𝐴,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   ,𝐼,𝑘,𝑚,𝑢   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   ,𝐻,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   𝑥,𝑁   ,𝑊,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   · ,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   𝑥,𝑋   𝑃,,𝑚,𝑢   𝑆,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   ,𝑍,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝑇,,𝑚,𝑢   𝑈,,𝑚,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐵(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑈(𝑘,𝑛)   1 (𝑢)   𝐺(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑂(𝑥,𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑋(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem dchrptlem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrpt.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrpt.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑍)
4 dchrpt.u . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5 dchrpt.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 dchrpt.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
7 fveq2 6103 . . 3 (𝑣 = 𝑥 → (𝑋𝑣) = (𝑋𝑥))
8 fveq2 6103 . . 3 (𝑣 = 𝑦 → (𝑋𝑣) = (𝑋𝑦))
9 fveq2 6103 . . 3 (𝑣 = (𝑥(.r𝑍)𝑦) → (𝑋𝑣) = (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)))
10 fveq2 6103 . . 3 (𝑣 = (1r𝑍) → (𝑋𝑣) = (𝑋‘(1r𝑍)))
11 dchrpt.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
12 zex 11263 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ ∈ V
1312mptex 6390 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) ∈ V
1413rnex 6992 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) ∈ V
15 dchrpt.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
1614, 15dmmpti 5936 . . . . . . . . . 10 dom 𝑆 = dom 𝑊
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑆 = dom 𝑊)
18 dchrpt.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐻dProj𝑆)
19 dchrpt.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
2011, 17, 18, 19dpjf 18279 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝐼):(𝐻 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝐼))
21 dchrpt.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
2221feq2d 5944 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃𝐼):(𝐻 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝐼) ↔ (𝑃𝐼):𝑈⟶(𝑆𝐼)))
2320, 22mpbid 221 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃𝐼):𝑈⟶(𝑆𝐼))
2423ffvelrnda 6267 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑈) → ((𝑃𝐼)‘𝑣) ∈ (𝑆𝐼))
2519adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑈) → 𝐼 ∈ dom 𝑊)
26 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑎 → (𝑛 · (𝑊𝑘)) = (𝑎 · (𝑊𝑘)))
2726cbvmptv 4678 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝑘)))
28 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐼 → (𝑊𝑘) = (𝑊𝐼))
2928oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐼 → (𝑎 · (𝑊𝑘)) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
3029mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐼 → (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝑘))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3127, 30syl5eq 2656 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐼 → (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3231rneqd 5274 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐼 → ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))) = ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3332, 15, 14fvmpt3i 6196 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ dom 𝑊 → (𝑆𝐼) = ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3425, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑈) → (𝑆𝐼) = ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
3524, 34eleqtrd 2690 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑈) → ((𝑃𝐼)‘𝑣) ∈ ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))))
36 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))) = (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼)))
37 ovex 6577 . . . . . 6 (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∈ V
3836, 37elrnmpti 5297 . . . . 5 (((𝑃𝐼)‘𝑣) ∈ ran (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 · (𝑊𝐼))) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
3935, 38sylib 207 . . . 4 ((𝜑𝑣𝑈) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
40 dchrpt.1 . . . . . 6 1 = (1r𝑍)
41 dchrpt.n1 . . . . . 6 (𝜑𝐴1 )
42 dchrpt.h . . . . . 6 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
43 dchrpt.m . . . . . 6 · = (.g𝐻)
44 dchrpt.au . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑈)
45 dchrpt.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
46 dchrpt.o . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐻)
47 dchrpt.t . . . . . 6 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
48 dchrpt.4 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
49 dchrpt.5 . . . . . 6 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
501, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 24789 . . . . 5 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑣) = (𝑇𝑎))
51 neg1cn 11001 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
52 2re 10967 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
535nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
542zncrng 19712 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
55 crngring 18381 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
574, 42unitgrp 18490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Grp)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
592, 3znfi 19727 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
605, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
613, 4unitss 18483 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈𝐵
62 ssfi 8065 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ∈ Fin)
6360, 61, 62sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
64 wrdf 13165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑈𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑈)
6545, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑈)
66 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑈 → dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)))
6819, 67eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
6965, 68ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
704, 42unitgrpbas 18489 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = (Base‘𝐻)
7170, 46odcl2 17805 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
7258, 63, 69, 71syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
73 nndivre 10933 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
7452, 72, 73sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
7574recnd 9947 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ)
76 cxpcl 24220 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
7751, 75, 76sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
7847, 77syl5eqel 2692 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
7978ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
8051a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
81 neg1ne0 11003 . . . . . . . . . 10 -1 ≠ 0
8281a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ≠ 0)
8380, 82, 75cxpne0d 24259 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
8447neeq1i 2846 . . . . . . . 8 (𝑇 ≠ 0 ↔ (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
8583, 84sylibr 223 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ≠ 0)
8685ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑇 ≠ 0)
87 simprl 790 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
8879, 86, 87expclzd 12875 . . . . 5 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑇𝑎) ∈ ℂ)
8950, 88eqeltrd 2688 . . . 4 (((𝜑𝑣𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑣) ∈ ℂ)
9039, 89rexlimddv 3017 . . 3 ((𝜑𝑣𝑈) → (𝑋𝑣) ∈ ℂ)
91 simprl 790 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑥𝑈)
9239ralrimiva 2949 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
9392adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
94 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑃𝐼)‘𝑣) = ((𝑃𝐼)‘𝑥))
9594eqeq1d 2612 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑥 → (((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
9695rexbidv 3034 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑥 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
9796rspcv 3278 . . . . 5 (𝑥𝑈 → (∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
9891, 93, 97sylc 63 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
99 simprr 792 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → 𝑦𝑈)
100 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑃𝐼)‘𝑣) = ((𝑃𝐼)‘𝑦))
101100eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 → (((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
102101rexbidv 3034 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
103 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
104103eqeq2d 2620 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))
105104cbvrexv 3148 . . . . . . 7 (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
106102, 105syl6bb 275 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))
107106rspcv 3278 . . . . 5 (𝑦𝑈 → (∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))
10899, 93, 107sylc 63 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
109 reeanv 3086 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))
11078ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
11185ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑇 ≠ 0)
112 simprll 798 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑎 ∈ ℤ)
113 simprlr 799 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑏 ∈ ℤ)
114 expaddz 12766 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ≠ 0) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑇𝑎) · (𝑇𝑏)))
115110, 111, 112, 113, 114syl22anc 1319 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)) = ((𝑇𝑎) · (𝑇𝑏)))
116 simpll 786 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝜑)
11756ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑍 ∈ Ring)
11891adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑥𝑈)
11999adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝑦𝑈)
120 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑍) = (.r𝑍)
1214, 120unitmulcl 18487 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
122117, 118, 119, 121syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈)
123112, 113zaddcld 11362 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
124 simprrl 800 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
125 simprrr 801 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))
126124, 125oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (((𝑃𝐼)‘𝑥)(.r𝑍)((𝑃𝐼)‘𝑦)) = ((𝑎 · (𝑊𝐼))(.r𝑍)(𝑏 · (𝑊𝐼))))
12711, 17, 18, 19dpjghm 18285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ ((𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐻))
12821oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) = (𝐻s 𝑈))
129 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) ∈ V
13042, 129eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 ∈ V
13170ressid 15762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ V → (𝐻s 𝑈) = 𝐻)
132130, 131ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻s 𝑈) = 𝐻
133128, 132syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) = 𝐻)
134133oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐻s (𝐻 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐻) = (𝐻 GrpHom 𝐻))
135127, 134eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻))
136135ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻))
137 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . 14 (Unit‘𝑍) ∈ V
1384, 137eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 ∈ V
139 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
140139, 120mgpplusg 18316 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
14142, 140ressplusg 15818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ V → (.r𝑍) = (+g𝐻))
142138, 141ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑍) = (+g𝐻)
14370, 142, 142ghmlin 17488 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑃𝐼)‘𝑥)(.r𝑍)((𝑃𝐼)‘𝑦)))
144136, 118, 119, 143syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (((𝑃𝐼)‘𝑥)(.r𝑍)((𝑃𝐼)‘𝑦)))
14558ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → 𝐻 ∈ Grp)
14669ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
14770, 43, 142mulgdir 17396 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)) → ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)) = ((𝑎 · (𝑊𝐼))(.r𝑍)(𝑏 · (𝑊𝐼))))
148145, 112, 113, 146, 147syl13anc 1320 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)) = ((𝑎 · (𝑊𝐼))(.r𝑍)(𝑏 · (𝑊𝐼))))
149126, 144, 1483eqtr4d 2654 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)))
1501, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 24789 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥(.r𝑍)𝑦) ∈ 𝑈) ∧ ((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑎 + 𝑏) · (𝑊𝐼)))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)))
151116, 122, 123, 149, 150syl22anc 1319 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = (𝑇↑(𝑎 + 𝑏)))
1521, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 24789 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑥) = (𝑇𝑎))
153116, 118, 112, 124, 152syl22anc 1319 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋𝑥) = (𝑇𝑎))
1541, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 24789 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑈) ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝑦) = (𝑇𝑏))
155116, 119, 113, 125, 154syl22anc 1319 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋𝑦) = (𝑇𝑏))
156153, 155oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)) = ((𝑇𝑎) · (𝑇𝑏)))
157115, 151, 1563eqtr4d 2654 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
158157expr 641 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
159158rexlimdvva 3020 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
160109, 159syl5bir 232 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → ((∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑥) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑦) = (𝑏 · (𝑊𝐼))) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦))))
16198, 108, 160mp2and 711 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑋‘(𝑥(.r𝑍)𝑦)) = ((𝑋𝑥) · (𝑋𝑦)))
162 id 22 . . . . 5 (𝜑𝜑)
163 eqid 2610 . . . . . . 7 (1r𝑍) = (1r𝑍)
1644, 1631unit 18481 . . . . . 6 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
16556, 164syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑍) ∈ 𝑈)
166 0zd 11266 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
167 eqid 2610 . . . . . . . 8 (0g𝐻) = (0g𝐻)
168167, 167ghmid 17489 . . . . . . 7 ((𝑃𝐼) ∈ (𝐻 GrpHom 𝐻) → ((𝑃𝐼)‘(0g𝐻)) = (0g𝐻))
169135, 168syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘(0g𝐻)) = (0g𝐻))
1704, 42, 163unitgrpid 18492 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) = (0g𝐻))
17156, 170syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑍) = (0g𝐻))
172171fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘(1r𝑍)) = ((𝑃𝐼)‘(0g𝐻)))
17370, 167, 43mulg0 17369 . . . . . . 7 ((𝑊𝐼) ∈ 𝑈 → (0 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻))
17469, 173syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻))
175169, 172, 1743eqtr4d 2654 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘(1r𝑍)) = (0 · (𝑊𝐼)))
1761, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 24789 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (1r𝑍) ∈ 𝑈) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘(1r𝑍)) = (0 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋‘(1r𝑍)) = (𝑇↑0))
177162, 165, 166, 175, 176syl22anc 1319 . . . 4 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = (𝑇↑0))
17878exp0d 12864 . . . 4 (𝜑 → (𝑇↑0) = 1)
179177, 178eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → (𝑋‘(1r𝑍)) = 1)
1801, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 90, 161, 179dchrelbasd 24764 . 2 (𝜑 → (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) ∈ 𝐷)
18161, 44sseldi 3566 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
182 eleq1 2676 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 → (𝑣𝑈𝐴𝑈))
183 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 → (𝑋𝑣) = (𝑋𝐴))
184182, 183ifbieq1d 4059 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐴 → if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0) = if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0))
185 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) = (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))
186 fvex 6113 . . . . . . 7 (𝑋𝑣) ∈ V
187 c0ex 9913 . . . . . . 7 0 ∈ V
188186, 187ifex 4106 . . . . . 6 if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0) ∈ V
189184, 185, 188fvmpt3i 6196 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) = if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0))
190181, 189syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) = if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0))
19144iftrued 4044 . . . 4 (𝜑 → if(𝐴𝑈, (𝑋𝐴), 0) = (𝑋𝐴))
192190, 191eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) = (𝑋𝐴))
193 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝐴 → ((𝑃𝐼)‘𝑣) = ((𝑃𝐼)‘𝐴))
194193eqeq1d 2612 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 → (((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
195194rexbidv 3034 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐴 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
196195rspcv 3278 . . . . 5 (𝐴𝑈 → (∀𝑣𝑈𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝑣) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼))))
19744, 92, 196sylc 63 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
1981, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 24789 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐴) = (𝑇𝑎))
19947oveq1i 6559 . . . . . . . 8 (𝑇𝑎) = ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎)
200198, 199syl6eq 2660 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐴) = ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎))
20148ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
20258ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝐻 ∈ Grp)
20369ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
204 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
20570, 46, 43, 167oddvds 17789 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎 ↔ (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻)))
206202, 203, 204, 205syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎 ↔ (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻)))
20772ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
208 root1eq1 24296 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎))
209207, 204, 208syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ 𝑎))
210 simprr 792 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))
21140, 171syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑1 = (0g𝐻))
212211ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → 1 = (0g𝐻))
213210, 212eqeq12d 2625 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((𝑃𝐼)‘𝐴) = 1 ↔ (𝑎 · (𝑊𝐼)) = (0g𝐻)))
214206, 209, 2133bitr4d 299 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) = 1 ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = 1 ))
215214necon3bid 2826 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) ≠ 1 ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 ))
216201, 215mpbird 246 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑𝑎) ≠ 1)
217200, 216eqnetrd 2849 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝑈) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐴) ≠ 1)
218217rexlimdvaa 3014 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑈) → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → (𝑋𝐴) ≠ 1))
21944, 218mpdan 699 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℤ ((𝑃𝐼)‘𝐴) = (𝑎 · (𝑊𝐼)) → (𝑋𝐴) ≠ 1))
220197, 219mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐴) ≠ 1)
221192, 220eqnetrd 2849 . 2 (𝜑 → ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) ≠ 1)
222 fveq1 6102 . . . 4 (𝑥 = (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) → (𝑥𝐴) = ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴))
223222neeq1d 2841 . . 3 (𝑥 = (𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) → ((𝑥𝐴) ≠ 1 ↔ ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) ≠ 1))
224223rspcev 3282 . 2 (((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0)) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑣𝐵 ↦ if(𝑣𝑈, (𝑋𝑣), 0))‘𝐴) ≠ 1) → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
225180, 221, 224syl2anc 691 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 (𝑥𝐴) ≠ 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039  ℩cio 5766  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  ↑cexp 12722  #chash 12979  Word cword 13146   ∥ cdvds 14821  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  .gcmg 17363   GrpHom cghm 17480  odcod 17767   DProd cdprd 18215  dProjcdpj 18216  mulGrpcmgp 18312  1rcur 18324  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  Unitcui 18462  ℤ/nℤczn 19670  ↑𝑐ccxp 24106  DChrcdchr 24757 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-word 13154  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-qus 15992  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-od 17771  df-lsm 17874  df-pj1 17875  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-dprd 18217  df-dpj 18218  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108  df-dchr 24758 This theorem is referenced by:  dchrptlem3  24791
 Copyright terms: Public domain W3C validator