Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjghm 18285
 Description: The direct product is the binary subgroup product ("sum") of the direct products of the partition. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjlid.3 (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
dpjghm (𝜑 → (𝑃𝑋) ∈ ((𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺))

Proof of Theorem dpjghm
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
2 eqid 2610 . . 3 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
3 eqid 2610 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 eqid 2610 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5 dpjfval.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
6 dpjfval.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
75, 6dprdf2 18229 . . . 4 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
8 dpjlid.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐼)
97, 8ffvelrnd 6268 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10 difssd 3700 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐼)
115, 6, 10dprdres 18250 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
1211simpld 474 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))
13 dprdsubg 18246 . . . 4 (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
155, 6, 8, 3dpjdisj 18275 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑋) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g𝐺)})
165, 6, 8, 4dpjcntz 18274 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑋) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
17 eqid 2610 . . 3 (proj1𝐺) = (proj1𝐺)
181, 2, 3, 4, 9, 14, 15, 16, 17pj1ghm 17939 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ∈ ((𝐺s ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))) GrpHom 𝐺))
19 dpjfval.p . . 3 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
205, 6, 19, 17, 8dpjval 18278 . 2 (𝜑 → (𝑃𝑋) = ((𝑆𝑋)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
215, 6, 8, 2dpjlsm 18276 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
2221oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → (𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) = (𝐺s ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))))
2322oveq1d 6564 . 2 (𝜑 → ((𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺) = ((𝐺s ((𝑆𝑋)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))) GrpHom 𝐺))
2418, 20, 233eltr4d 2703 1 (𝜑 → (𝑃𝑋) ∈ ((𝐺s (𝐺 DProd 𝑆)) GrpHom 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↾s cress 15696  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  SubGrpcsubg 17411   GrpHom cghm 17480  Cntzccntz 17571  LSSumclsm 17872  proj1cpj1 17873   DProd cdprd 18215  dProjcdpj 18216 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-lsm 17874  df-pj1 17875  df-cmn 18018  df-dprd 18217  df-dpj 18218 This theorem is referenced by:  dpjghm2  18286  dchrptlem2  24790
 Copyright terms: Public domain W3C validator