MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrptlem1 24789
Description: Lemma for dchrpt 24792. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrpt.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrpt.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrpt.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrpt.1 1 = (1r𝑍)
dchrpt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrpt.n1 (𝜑𝐴1 )
dchrpt.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrpt.h 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
dchrpt.m · = (.g𝐻)
dchrpt.s 𝑆 = (𝑘 ∈ dom 𝑊 ↦ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · (𝑊𝑘))))
dchrpt.au (𝜑𝐴𝑈)
dchrpt.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
dchrpt.2 (𝜑𝐻dom DProd 𝑆)
dchrpt.3 (𝜑 → (𝐻 DProd 𝑆) = 𝑈)
dchrpt.p 𝑃 = (𝐻dProj𝑆)
dchrpt.o 𝑂 = (od‘𝐻)
dchrpt.t 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
dchrpt.i (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
dchrpt.4 (𝜑 → ((𝑃𝐼)‘𝐴) ≠ 1 )
dchrpt.5 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
Assertion
Ref Expression
dchrptlem1 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐶) = (𝑇𝑀))
Distinct variable groups:   ,𝑘,𝑚,𝑛, 1   𝑢,,𝐴,𝑘,𝑚,𝑛   ,𝐼,𝑘,𝑚,𝑢   𝐶,,𝑚,𝑢   ,𝐻,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   ,𝑊,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   · ,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   𝑃,,𝑚,𝑢   𝑆,,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   ,𝑍,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢   ,𝑀,𝑚   𝜑,,𝑘,𝑚,𝑛   𝑇,,𝑚,𝑢   𝑈,,𝑚,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐵(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐶(𝑘,𝑛)   𝐷(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑃(𝑘,𝑛)   𝑇(𝑘,𝑛)   𝑈(𝑘,𝑛)   1 (𝑢)   𝐺(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝑀(𝑢,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑂(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑋(𝑢,,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem dchrptlem1
StepHypRef Expression
1 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝐶 → ((𝑃𝐼)‘𝑢) = ((𝑃𝐼)‘𝐶))
21eqeq1d 2612 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝐶 → (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))))
32anbi1d 737 . . . . . 6 (𝑢 = 𝐶 → ((((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
43rexbidv 3034 . . . . 5 (𝑢 = 𝐶 → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
54iotabidv 5789 . . . 4 (𝑢 = 𝐶 → (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) = (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
6 dchrpt.5 . . . 4 𝑋 = (𝑢𝑈 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
7 iotaex 5785 . . . 4 (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝑢) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) ∈ V
85, 6, 7fvmpt3i 6196 . . 3 (𝐶𝑈 → (𝑋𝐶) = (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
98ad2antlr 759 . 2 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐶) = (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
10 ovex 6577 . . 3 (𝑇𝑀) ∈ V
11 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)))
12 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
1312simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))
1411, 13eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))
15 simp-4l 802 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → 𝜑)
16 simplr 788 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → 𝑚 ∈ ℤ)
1712simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → 𝑀 ∈ ℤ)
18 dchrpt.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1918nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
20 dchrpt.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2120zncrng 19712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
22 crngring 18381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
23 dchrpt.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑈 = (Unit‘𝑍)
24 dchrpt.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐻 = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
2523, 24unitgrp 18490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑍 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Grp)
2619, 21, 22, 254syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝐻 ∈ Grp)
28 dchrpt.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑈)
29 wrdf 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ Word 𝑈𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑈)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑈)
31 dchrpt.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐼 ∈ dom 𝑊)
32 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑈 → dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)))
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)))
3431, 33eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
3530, 34ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑊𝐼) ∈ 𝑈)
37 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑚 ∈ ℤ)
38 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3923, 24unitgrpbas 18489 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈 = (Base‘𝐻)
40 dchrpt.o . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑂 = (od‘𝐻)
41 dchrpt.m . . . . . . . . . . . . . . 15 · = (.g𝐻)
42 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝐻) = (0g𝐻)
4339, 40, 41, 42odcong 17791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀) ↔ (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
4427, 36, 37, 38, 43syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀) ↔ (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
45 dchrpt.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))
46 neg1cn 11001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -1 ∈ ℂ
47 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
48 dchrpt.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐵 = (Base‘𝑍)
4920, 48znfi 19727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ Fin)
5018, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
5148, 23unitss 18483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑈𝐵
52 ssfi 8065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ∈ Fin)
5350, 51, 52sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
5439, 40odcl2 17805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑊𝐼) ∈ 𝑈) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
5526, 53, 35, 54syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
5655ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ)
57 nndivre 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
5847, 56, 57sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℝ)
5958recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ)
60 cxpcl 24220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
6146, 59, 60sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ∈ ℂ)
6245, 61syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑇 ∈ ℂ)
6346a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → -1 ∈ ℂ)
64 neg1ne0 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ≠ 0
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → -1 ≠ 0)
6663, 65, 59cxpne0d 24259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
6745neeq1i 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 ≠ 0 ↔ (-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼)))) ≠ 0)
6866, 67sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑇 ≠ 0)
69 zsubcl 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑚𝑀) ∈ ℤ)
7069ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑚𝑀) ∈ ℤ)
7138adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
72 expaddz 12766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ≠ 0) ∧ ((𝑚𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑇↑((𝑚𝑀) + 𝑀)) = ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)))
7362, 68, 70, 71, 72syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇↑((𝑚𝑀) + 𝑀)) = ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)))
7437adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑚 ∈ ℤ)
7574zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑚 ∈ ℂ)
7671zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
7775, 76npcand 10275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((𝑚𝑀) + 𝑀) = 𝑚)
7877oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇↑((𝑚𝑀) + 𝑀)) = (𝑇𝑚))
7945oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇↑(𝑚𝑀)) = ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀))
80 root1eq1 24296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∈ ℕ ∧ (𝑚𝑀) ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀)) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)))
8155, 69, 80syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀)) = 1 ↔ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)))
8281biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((-1↑𝑐(2 / (𝑂‘(𝑊𝐼))))↑(𝑚𝑀)) = 1)
8379, 82syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇↑(𝑚𝑀)) = 1)
8483oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)) = (1 · (𝑇𝑀)))
8562, 68, 71expclzd 12875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇𝑀) ∈ ℂ)
8685mulid2d 9937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (1 · (𝑇𝑀)) = (𝑇𝑀))
8784, 86eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → ((𝑇↑(𝑚𝑀)) · (𝑇𝑀)) = (𝑇𝑀))
8873, 78, 873eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀)) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀))
8988ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑊𝐼)) ∥ (𝑚𝑀) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀)))
9044, 89sylbird 249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀)))
9115, 16, 17, 90syl12anc 1316 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ((𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀)))
9214, 91mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀))
9392eqeq2d 2620 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ( = (𝑇𝑚) ↔ = (𝑇𝑀)))
9493biimpd 218 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼))) → ( = (𝑇𝑚) → = (𝑇𝑀)))
9594expimpd 627 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) → = (𝑇𝑀)))
9695rexlimdva 3013 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) → = (𝑇𝑀)))
97 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · (𝑊𝐼)) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))
9897eqeq2d 2620 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑀 → (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ↔ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼))))
99 oveq2 6557 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑀 → (𝑇𝑚) = (𝑇𝑀))
10099eqeq2d 2620 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑀 → ( = (𝑇𝑚) ↔ = (𝑇𝑀)))
10198, 100anbi12d 743 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑀 → ((((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑀))))
102101rspcev 3282 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑀))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)))
103102expr 641 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼))) → ( = (𝑇𝑀) → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
104103adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → ( = (𝑇𝑀) → ∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))))
10596, 104impbid 201 . . . . 5 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ = (𝑇𝑀)))
106105adantr 480 . . . 4 ((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ (𝑇𝑀) ∈ V) → (∃𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚)) ↔ = (𝑇𝑀)))
107106iota5 5788 . . 3 ((((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) ∧ (𝑇𝑀) ∈ V) → (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) = (𝑇𝑀))
10810, 107mpan2 703 . 2 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (℩𝑚 ∈ ℤ (((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑚 · (𝑊𝐼)) ∧ = (𝑇𝑚))) = (𝑇𝑀))
1099, 108eqtrd 2644 1 (((𝜑𝐶𝑈) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝐼)‘𝐶) = (𝑀 · (𝑊𝐼)))) → (𝑋𝐶) = (𝑇𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  Vcvv 3173  wss 3540   class class class wbr 4583  cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039  cio 5766  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  ..^cfzo 12334  cexp 12722  #chash 12979  Word cword 13146  cdvds 14821  Basecbs 15695  s cress 15696  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  .gcmg 17363  odcod 17767   DProd cdprd 18215  dProjcdpj 18216  mulGrpcmgp 18312  1rcur 18324  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  Unitcui 18462  ℤ/nczn 19670  𝑐ccxp 24106  DChrcdchr 24757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-word 13154  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-qus 15992  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-od 17771  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108
This theorem is referenced by:  dchrptlem2  24790
  Copyright terms: Public domain W3C validator