Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem2 Unicode version

Theorem dchrptlem2 21002
 Description: Lemma for dchrpt 21004. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g DChr
dchrpt.z ℤ/n
dchrpt.d
dchrpt.b
dchrpt.1
dchrpt.n
dchrpt.n1
dchrpt.u Unit
dchrpt.h mulGrps
dchrpt.m .g
dchrpt.s
dchrpt.au
dchrpt.w Word
dchrpt.2 DProd
dchrpt.3 DProd
dchrpt.p dProj
dchrpt.o
dchrpt.t
dchrpt.i
dchrpt.4
dchrpt.5
Assertion
Ref Expression
dchrptlem2
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,,   ,   ,   ,,,,,,   ,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,   ,,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,   ,,,,,   ,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,,)   (,,,,)   (,,)   (,,)   (,)   ()   (,,,,)   (,)   (,,,,)   (,,,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem dchrptlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.g . . 3 DChr
2 dchrpt.z . . 3 ℤ/n
3 dchrpt.b . . 3
4 dchrpt.u . . 3 Unit
5 dchrpt.n . . 3
6 dchrpt.d . . 3
7 fveq2 5687 . . 3
8 fveq2 5687 . . 3
9 fveq2 5687 . . 3
10 fveq2 5687 . . 3
11 dchrpt.2 . . . . . . . . 9 DProd
12 zex 10247 . . . . . . . . . . . . 13
1312mptex 5925 . . . . . . . . . . . 12
1413rnex 5092 . . . . . . . . . . 11
15 dchrpt.s . . . . . . . . . . 11
1614, 15dmmpti 5533 . . . . . . . . . 10
1716a1i 11 . . . . . . . . 9
18 dchrpt.p . . . . . . . . 9 dProj
19 dchrpt.i . . . . . . . . 9
2011, 17, 18, 19dpjf 15570 . . . . . . . 8 DProd
21 dchrpt.3 . . . . . . . . 9 DProd
2221feq2d 5540 . . . . . . . 8 DProd
2320, 22mpbid 202 . . . . . . 7
2423ffvelrnda 5829 . . . . . 6
2519adantr 452 . . . . . . 7
26 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11
2726cbvmptv 4260 . . . . . . . . . 10
28 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12
2928oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11
3029mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . 10
3127, 30syl5eq 2448 . . . . . . . . 9
3231rneqd 5056 . . . . . . . 8
3332, 15, 14fvmpt3i 5768 . . . . . . 7
3425, 33syl 16 . . . . . 6
3524, 34eleqtrd 2480 . . . . 5
36 eqid 2404 . . . . . 6
37 ovex 6065 . . . . . 6
3836, 37elrnmpti 5080 . . . . 5
3935, 38sylib 189 . . . 4
40 dchrpt.1 . . . . . 6
41 dchrpt.n1 . . . . . 6
42 dchrpt.h . . . . . 6 mulGrps
43 dchrpt.m . . . . . 6 .g
44 dchrpt.au . . . . . 6
45 dchrpt.w . . . . . 6 Word
46 dchrpt.o . . . . . 6
47 dchrpt.t . . . . . 6
48 dchrpt.4 . . . . . 6
49 dchrpt.5 . . . . . 6
501, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 21001 . . . . 5
51 neg1cn 10023 . . . . . . . . 9
52 2re 10025 . . . . . . . . . . 11
535nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . 14
542zncrng 16780 . . . . . . . . . . . . . 14
55 crngrng 15629 . . . . . . . . . . . . . 14
5653, 54, 553syl 19 . . . . . . . . . . . . 13
574, 42unitgrp 15727 . . . . . . . . . . . . 13
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . 12
592, 3znfi 16795 . . . . . . . . . . . . . 14
605, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
613, 4unitss 15720 . . . . . . . . . . . . 13
62 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . 13
6360, 61, 62sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12
64 wrdf 11688 . . . . . . . . . . . . . 14 Word ..^
6545, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
66 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
6819, 67eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
6965, 68ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . 12
704, 42unitgrpbas 15726 . . . . . . . . . . . . 13
7170, 46odcl2 15156 . . . . . . . . . . . 12
7258, 63, 69, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
73 nndivre 9991 . . . . . . . . . . 11
7452, 72, 73sylancr 645 . . . . . . . . . 10
7574recnd 9070 . . . . . . . . 9
76 cxpcl 20518 . . . . . . . . 9
7751, 75, 76sylancr 645 . . . . . . . 8
7847, 77syl5eqel 2488 . . . . . . 7
7978ad2antrr 707 . . . . . 6
8051a1i 11 . . . . . . . . 9
81 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . 11
82 ax-1ne0 9015 . . . . . . . . . . 11
8381, 82negne0i 9331 . . . . . . . . . 10
8483a1i 11 . . . . . . . . 9
8580, 84, 75cxpne0d 20557 . . . . . . . 8
8647neeq1i 2577 . . . . . . . 8
8785, 86sylibr 204 . . . . . . 7
8887ad2antrr 707 . . . . . 6
89 simprl 733 . . . . . 6
9079, 88, 89expclzd 11483 . . . . 5
9150, 90eqeltrd 2478 . . . 4
9239, 91rexlimddv 2794 . . 3
93 simprl 733 . . . . 5
9439ralrimiva 2749 . . . . . 6
9594adantr 452 . . . . 5
96 fveq2 5687 . . . . . . . 8
9796eqeq1d 2412 . . . . . . 7
9897rexbidv 2687 . . . . . 6
9998rspcv 3008 . . . . 5
10093, 95, 99sylc 58 . . . 4
101 simprr 734 . . . . 5
102 fveq2 5687 . . . . . . . . 9
103102eqeq1d 2412 . . . . . . . 8
104103rexbidv 2687 . . . . . . 7
105 oveq1 6047 . . . . . . . . 9
106105eqeq2d 2415 . . . . . . . 8
107106cbvrexv 2893 . . . . . . 7
108104, 107syl6bb 253 . . . . . 6
109108rspcv 3008 . . . . 5
110101, 95, 109sylc 58 . . . 4
111 reeanv 2835 . . . . 5
11278ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
11387ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
114 simprll 739 . . . . . . . . 9
115 simprlr 740 . . . . . . . . 9
116 expaddz 11379 . . . . . . . . 9
117112, 113, 114, 115, 116syl22anc 1185 . . . . . . . 8
118 simpll 731 . . . . . . . . 9
11956ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
12093adantr 452 . . . . . . . . . 10
121101adantr 452 . . . . . . . . . 10
122 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11
1234, 122unitmulcl 15724 . . . . . . . . . 10
124119, 120, 121, 123syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
125114, 115zaddcld 10335 . . . . . . . . 9
126 simprrl 741 . . . . . . . . . . 11
127 simprrr 742 . . . . . . . . . . 11
128126, 127oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10
12911, 17, 18, 19dpjghm 15576 . . . . . . . . . . . . 13 s DProd
13021oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15 s DProd s
131 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrps
13242, 131eqeltri 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13370ressid 13479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s
134132, 133ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15 s
135130, 134syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . 14 s DProd
136135oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13 s DProd
137129, 136eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . 12
138137ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
139 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14 Unit
1404, 139eqeltri 2474 . . . . . . . . . . . . 13
141 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15 mulGrp mulGrp
142141, 122mgpplusg 15607 . . . . . . . . . . . . . 14 mulGrp
14342, 142ressplusg 13526 . . . . . . . . . . . . 13
144140, 143ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
14570, 144, 144ghmlin 14966 . . . . . . . . . . 11
146138, 120, 121, 145syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
14758ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
14869ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
14970, 43, 144mulgdir 14870 . . . . . . . . . . 11
150147, 114, 115, 148, 149syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10
151128, 146, 1503eqtr4d 2446 . . . . . . . . 9
1521, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 21001 . . . . . . . . 9
153118, 124, 125, 151, 152syl22anc 1185 . . . . . . . 8
1541, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 21001 . . . . . . . . . 10
155118, 120, 114, 126, 154syl22anc 1185 . . . . . . . . 9
1561, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 21001 . . . . . . . . . 10
157118, 121, 115, 127, 156syl22anc 1185 . . . . . . . . 9
158155, 157oveq12d 6058 . . . . . . . 8
159117, 153, 1583eqtr4d 2446 . . . . . . 7
160159expr 599 . . . . . 6
161160rexlimdvva 2797 . . . . 5
162111, 161syl5bir 210 . . . 4
163100, 110, 162mp2and 661 . . 3
164 id 20 . . . . 5
165 eqid 2404 . . . . . . 7
1664, 1651unit 15718 . . . . . 6
16756, 166syl 16 . . . . 5
168 0z 10249 . . . . . 6
169168a1i 11 . . . . 5
170 eqid 2404 . . . . . . . 8
171170, 170ghmid 14967 . . . . . . 7
172137, 171syl 16 . . . . . 6
1734, 42, 165unitgrpid 15729 . . . . . . . 8
17456, 173syl 16 . . . . . . 7
175174fveq2d 5691 . . . . . 6
17670, 170, 43mulg0 14850 . . . . . . 7
17769, 176syl 16 . . . . . 6
178172, 175, 1773eqtr4d 2446 . . . . 5
1791, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 21001 . . . . 5
180164, 167, 169, 178, 179syl22anc 1185 . . . 4
18178exp0d 11472 . . . 4
182180, 181eqtrd 2436 . . 3
1831, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 92, 163, 182dchrelbasd 20976 . 2
18461, 44sseldi 3306 . . . . 5
185 eleq1 2464 . . . . . . 7
186 fveq2 5687 . . . . . . 7
187 eqidd 2405 . . . . . . 7
188185, 186, 187ifbieq12d 3721 . . . . . 6
189 eqid 2404 . . . . . 6
190 fvex 5701 . . . . . . 7
191 c0ex 9041 . . . . . . 7
192190, 191ifex 3757 . . . . . 6
193188, 189, 192fvmpt3i 5768 . . . . 5
194184, 193syl 16 . . . 4
195 iftrue 3705 . . . . 5
19644, 195syl 16 . . . 4
197194, 196eqtrd 2436 . . 3
198 fveq2 5687 . . . . . . . 8
199198eqeq1d 2412 . . . . . . 7
200199rexbidv 2687 . . . . . 6
201200rspcv 3008 . . . . 5
20244, 94, 201sylc 58 . . . 4
2031, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 21001 . . . . . . . 8
20447oveq1i 6050 . . . . . . . 8
205203, 204syl6eq 2452 . . . . . . 7
20648ad2antrr 707 . . . . . . . 8
20758ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
20869ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
209 simprl 733 . . . . . . . . . . 11
21070, 46, 43, 170oddvds 15140 . . . . . . . . . . 11
211207, 208, 209, 210syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
21272ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
213 root1eq1 20592 . . . . . . . . . . 11
214212, 209, 213syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
215 simprr 734 . . . . . . . . . . 11
21640, 174syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . 12
217216ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
218215, 217eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10
219211, 214, 2183bitr4d 277 . . . . . . . . 9
220219necon3bid 2602 . . . . . . . 8
221206, 220mpbird 224 . . . . . . 7
222205, 221eqnetrd 2585 . . . . . 6
223222rexlimdvaa 2791 . . . . 5
22444, 223mpdan 650 . . . 4
225202, 224mpd 15 . . 3
226197, 225eqnetrd 2585 . 2
227 fveq1 5686 . . . 4
228227neeq1d 2580 . . 3
229228rspcev 3012 . 2
230183, 226, 229syl2anc 643 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  wrex 2667  cvv 2916   wss 3280  cif 3699   class class class wbr 4172   cmpt 4226   cdm 4837   crn 4838  cio 5375  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cfn 7068  cc 8944  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951  cneg 9248   cdiv 9633  cn 9956  c2 10005  cn0 10177  cz 10238  ..^cfzo 11090  cexp 11337  chash 11573  Word cword 11672   cdivides 12807  cbs 13424   ↾s cress 13425   cplusg 13484  cmulr 13485  c0g 13678  cgrp 14640  .gcmg 14644   cghm 14958  cod 15118   DProd cdprd 15509  dProjcdpj 15510  mulGrpcmgp 15603  crg 15615  ccrg 15616  cur 15617  Unitcui 15699  ℤ/nℤczn 16736   ccxp 20406  DChrcdchr 20969 This theorem is referenced by:  dchrptlem3  21003 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-word 11678  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-divs 13690  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-gim 15001  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-od 15122  df-lsm 15225  df-pj1 15226  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-dprd 15511  df-dpj 15512  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-dchr 20970
 Copyright terms: Public domain W3C validator