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Theorem dchrptlem2 21002
Description: Lemma for dchrpt 21004. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrpt.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrpt.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrpt.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrpt.1  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
dchrpt.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrpt.n1  |-  ( ph  ->  A  =/=  .1.  )
dchrpt.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrpt.h  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
dchrpt.m  |-  .x.  =  (.g
`  H )
dchrpt.s  |-  S  =  ( k  e.  dom  W 
|->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `  k ) ) ) )
dchrpt.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
dchrpt.w  |-  ( ph  ->  W  e. Word  U )
dchrpt.2  |-  ( ph  ->  H dom DProd  S )
dchrpt.3  |-  ( ph  ->  ( H DProd  S )  =  U )
dchrpt.p  |-  P  =  ( HdProj S )
dchrpt.o  |-  O  =  ( od `  H
)
dchrpt.t  |-  T  =  ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )
dchrpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  W
)
dchrpt.4  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  A
)  =/=  .1.  )
dchrpt.5  |-  X  =  ( u  e.  U  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrptlem2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  D  ( x `  A
)  =/=  1 )
Distinct variable groups:    h, k, m, n, x,  .1.    u, h, A, k, m, n, x    h, I, k, m, u    x, B   
x, G    h, H, k, m, n, u, x   
x, N    h, W, k, m, n, u, x    .x. , h, k, m, n, u, x    x, X    P, h, m, u    S, h, k, m, n, u, x    h, Z, k, m, n, u, x   
x, D    ph, h, k, m, n, x    T, h, m, u    U, h, m, u, x
Allowed substitution hints:    ph( u)    B( u, h, k, m, n)    D( u, h, k, m, n)    P( x, k, n)    T( x, k, n)    U( k, n)    .1. ( u)    G( u, h, k, m, n)    I( x, n)    N( u, h, k, m, n)    O( x, u, h, k, m, n)    X( u, h, k, m, n)

Proof of Theorem dchrptlem2
Dummy variables  a 
b  v  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrpt.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrpt.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
4 dchrpt.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  Z )
5 dchrpt.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6 dchrpt.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
7 fveq2 5687 . . 3  |-  ( v  =  x  ->  ( X `  v )  =  ( X `  x ) )
8 fveq2 5687 . . 3  |-  ( v  =  y  ->  ( X `  v )  =  ( X `  y ) )
9 fveq2 5687 . . 3  |-  ( v  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  ( X `  v )  =  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) ) )
10 fveq2 5687 . . 3  |-  ( v  =  ( 1r `  Z )  ->  ( X `  v )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
11 dchrpt.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H dom DProd  S )
12 zex 10247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  e.  _V
1312mptex 5925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  ( W `  k ) ) )  e.  _V
1413rnex 5092 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `
 k ) ) )  e.  _V
15 dchrpt.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( k  e.  dom  W 
|->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `  k ) ) ) )
1614, 15dmmpti 5533 . . . . . . . . . 10  |-  dom  S  =  dom  W
1716a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  S  =  dom  W )
18 dchrpt.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( HdProj S )
19 dchrpt.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  W
)
2011, 17, 18, 19dpjf 15570 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P `  I
) : ( H DProd 
S ) --> ( S `
 I ) )
21 dchrpt.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H DProd  S )  =  U )
2221feq2d 5540 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) : ( H DProd  S ) --> ( S `  I )  <-> 
( P `  I
) : U --> ( S `
 I ) ) )
2320, 22mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P `  I
) : U --> ( S `
 I ) )
2423ffvelrnda 5829 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  (
( P `  I
) `  v )  e.  ( S `  I
) )
2519adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  I  e.  dom  W )
26 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  a  ->  (
n  .x.  ( W `  k ) )  =  ( a  .x.  ( W `  k )
) )
2726cbvmptv 4260 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  ( W `  k ) ) )  =  ( a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `  k ) ) )
28 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  I  ->  ( W `  k )  =  ( W `  I ) )
2928oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  I  ->  (
a  .x.  ( W `  k ) )  =  ( a  .x.  ( W `  I )
) )
3029mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  I  ->  (
a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `
 k ) ) )  =  ( a  e.  ZZ  |->  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
3127, 30syl5eq 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  I  ->  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `
 k ) ) )  =  ( a  e.  ZZ  |->  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
3231rneqd 5056 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  I  ->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `
 k ) ) )  =  ran  (
a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
3332, 15, 14fvmpt3i 5768 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  dom  W  -> 
( S `  I
)  =  ran  (
a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
3425, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  ( S `  I )  =  ran  ( a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `  I ) ) ) )
3524, 34eleqtrd 2480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  (
( P `  I
) `  v )  e.  ran  ( a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `  I ) ) ) )
36 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ZZ  |->  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) )  =  ( a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `  I ) ) )
37 ovex 6065 . . . . . 6  |-  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  e. 
_V
3836, 37elrnmpti 5080 . . . . 5  |-  ( ( ( P `  I
) `  v )  e.  ran  ( a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `  I ) ) )  <->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  v )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) )
3935, 38sylib 189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  v )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) )
40 dchrpt.1 . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
41 dchrpt.n1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  .1.  )
42 dchrpt.h . . . . . 6  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
43 dchrpt.m . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  H )
44 dchrpt.au . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
45 dchrpt.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e. Word  U )
46 dchrpt.o . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  H
)
47 dchrpt.t . . . . . 6  |-  T  =  ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )
48 dchrpt.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  A
)  =/=  .1.  )
49 dchrpt.5 . . . . . 6  |-  X  =  ( u  e.  U  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
501, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 21001 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  v )  =  ( T ^ a ) )
51 neg1cn 10023 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  CC
52 2re 10025 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
535nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
542zncrng 16780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
55 crngrng 15629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
5653, 54, 553syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
574, 42unitgrp 15727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  e.  Ring  ->  H  e. 
Grp )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
592, 3znfi 16795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  B  e.  Fin )
605, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
613, 4unitss 15720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  C_  B
62 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  U  C_  B )  ->  U  e.  Fin )
6360, 61, 62sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
64 wrdf 11688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. Word  U  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> U )
6545, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> U )
66 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> U  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  W  =  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
6819, 67eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
6965, 68ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( W `  I
)  e.  U )
704, 42unitgrpbas 15726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  =  ( Base `  H
)
7170, 46odcl2 15156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  U  e.  Fin  /\  ( W `  I )  e.  U )  ->  ( O `  ( W `  I ) )  e.  NN )
7258, 63, 69, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( O `  ( W `  I )
)  e.  NN )
73 nndivre 9991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( O `  ( W `
 I ) )  e.  NN )  -> 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  RR )
7452, 72, 73sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  RR )
7574recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  CC )
76 cxpcl 20518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  CC )  -> 
( -u 1  ^ c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  e.  CC )
7751, 75, 76sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )  e.  CC )
7847, 77syl5eqel 2488 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
7978ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
8051a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
81 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
82 ax-1ne0 9015 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  0
8381, 82negne0i 9331 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  =/=  0
8483a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  =/=  0
)
8580, 84, 75cxpne0d 20557 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )  =/=  0 )
8647neeq1i 2577 . . . . . . . 8  |-  ( T  =/=  0  <->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  =/=  0 )
8785, 86sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
8887ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  T  =/=  0 )
89 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
9079, 88, 89expclzd 11483 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( T ^ a )  e.  CC )
9150, 90eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  v )  e.  CC )
9239, 91rexlimddv 2794 . . 3  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  ( X `  v )  e.  CC )
93 simprl 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  x  e.  U )
9439ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. v  e.  U  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) )
9594adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  A. v  e.  U  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) )
96 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  x  ->  (
( P `  I
) `  v )  =  ( ( P `
 I ) `  x ) )
9796eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( v  =  x  ->  (
( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
9897rexbidv 2687 . . . . . 6  |-  ( v  =  x  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
9998rspcv 3008 . . . . 5  |-  ( x  e.  U  ->  ( A. v  e.  U  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  ->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  x
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
10093, 95, 99sylc 58 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  x
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) )
101 simprr 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
y  e.  U )
102 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  y  ->  (
( P `  I
) `  v )  =  ( ( P `
 I ) `  y ) )
103102eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  y  ->  (
( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  y )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
104103rexbidv 2687 . . . . . . 7  |-  ( v  =  y  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
105 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
a  .x.  ( W `  I ) )  =  ( b  .x.  ( W `  I )
) )
106105eqeq2d 2415 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( P `  I ) `  y
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
107106cbvrexv 2893 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  ZZ  (
( P `  I
) `  y )  =  ( a  .x.  ( W `  I ) )  <->  E. b  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  y
)  =  ( b 
.x.  ( W `  I ) ) )
108104, 107syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( v  =  y  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  E. b  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
109108rspcv 3008 . . . . 5  |-  ( y  e.  U  ->  ( A. v  e.  U  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  ->  E. b  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  y
)  =  ( b 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
110101, 95, 109sylc 58 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  E. b  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  y
)  =  ( b 
.x.  ( W `  I ) ) )
111 reeanv 2835 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  x
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  /\  ( ( P `  I ) `  y
)  =  ( b 
.x.  ( W `  I ) ) )  <-> 
( E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  E. b  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
11278ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
11387ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  ->  T  =/=  0 )
114 simprll 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
a  e.  ZZ )
115 simprlr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
b  e.  ZZ )
116 expaddz 11379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  CC  /\  T  =/=  0 )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( T ^ (
a  +  b ) )  =  ( ( T ^ a )  x.  ( T ^
b ) ) )
117112, 113, 114, 115, 116syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( T ^ (
a  +  b ) )  =  ( ( T ^ a )  x.  ( T ^
b ) ) )
118 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  ->  ph )
11956ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  ->  Z  e.  Ring )
12093adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  ->  x  e.  U )
121101adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
y  e.  U )
122 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
1234, 122unitmulcl 15724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  (
x ( .r `  Z ) y )  e.  U )
124119, 120, 121, 123syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( x ( .r
`  Z ) y )  e.  U )
125114, 115zaddcld 10335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( a  +  b )  e.  ZZ )
126 simprrl 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( P `  I ) `  x
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) )
127 simprrr 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( P `  I ) `  y
)  =  ( b 
.x.  ( W `  I ) ) )
128126, 127oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( ( P `
 I ) `  x ) ( .r
`  Z ) ( ( P `  I
) `  y )
)  =  ( ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ( .r `  Z
) ( b  .x.  ( W `  I ) ) ) )
12911, 17, 18, 19dpjghm 15576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P `  I
)  e.  ( ( Hs  ( H DProd  S ) )  GrpHom  H ) )
13021oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Hs  ( H DProd  S
) )  =  ( Hs  U ) )
131 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (mulGrp `  Z )s  U )  e.  _V
13242, 131eqeltri 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  H  e. 
_V
13370ressid 13479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H  e.  _V  ->  ( Hs  U )  =  H )
134132, 133ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Hs  U )  =  H
135130, 134syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Hs  ( H DProd  S
) )  =  H )
136135oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Hs  ( H DProd 
S ) )  GrpHom  H )  =  ( H 
GrpHom  H ) )
137129, 136eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P `  I
)  e.  ( H 
GrpHom  H ) )
138137ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( P `  I
)  e.  ( H 
GrpHom  H ) )
139 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Unit `  Z )  e.  _V
1404, 139eqeltri 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  e. 
_V
141 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
142141, 122mgpplusg 15607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  (mulGrp `  Z ) )
14342, 142ressplusg 13526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  _V  ->  ( .r `  Z )  =  ( +g  `  H
) )
144140, 143ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  H
)
14570, 144, 144ghmlin 14966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P `  I
)  e.  ( H 
GrpHom  H )  /\  x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  (
( P `  I
) `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( ( P `  I ) `
 x ) ( .r `  Z ) ( ( P `  I ) `  y
) ) )
146138, 120, 121, 145syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( P `  I ) `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( ( P `  I
) `  x )
( .r `  Z
) ( ( P `
 I ) `  y ) ) )
14758ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  ->  H  e.  Grp )
14869ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( W `  I
)  e.  U )
14970, 43, 144mulgdir 14870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  ( W `  I )  e.  U ) )  ->  ( ( a  +  b )  .x.  ( W `  I ) )  =  ( ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ( .r `  Z
) ( b  .x.  ( W `  I ) ) ) )
150147, 114, 115, 148, 149syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( a  +  b )  .x.  ( W `  I )
)  =  ( ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ( .r `  Z
) ( b  .x.  ( W `  I ) ) ) )
151128, 146, 1503eqtr4d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( P `  I ) `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( a  +  b ) 
.x.  ( W `  I ) ) )
1521, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 21001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x ( .r `  Z ) y )  e.  U )  /\  ( ( a  +  b )  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( a  +  b ) 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( T ^ ( a  +  b ) ) )
153118, 124, 125, 151, 152syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( T ^ ( a  +  b ) ) )
1541, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 21001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  x
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  x )  =  ( T ^ a ) )
155118, 120, 114, 126, 154syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( X `  x
)  =  ( T ^ a ) )
1561, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 21001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  U )  /\  (
b  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  y
)  =  ( b 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  y )  =  ( T ^ b ) )
157118, 121, 115, 127, 156syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( X `  y
)  =  ( T ^ b ) )
158155, 157oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
)  =  ( ( T ^ a )  x.  ( T ^
b ) ) )
159117, 153, 1583eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) )
160159expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( P `  I ) `
 x )  =  ( a  .x.  ( W `  I )
)  /\  ( ( P `  I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
161160rexlimdvva 2797 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 x )  =  ( a  .x.  ( W `  I )
)  /\  ( ( P `  I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
162111, 161syl5bir 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  E. b  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
163100, 110, 162mp2and 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) )
164 id 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ph )
165 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
1664, 1651unit 15718 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  e.  U )
16756, 166syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Z
)  e.  U )
168 0z 10249 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
169168a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
170 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
171170, 170ghmid 14967 . . . . . . 7  |-  ( ( P `  I )  e.  ( H  GrpHom  H )  ->  ( ( P `  I ) `  ( 0g `  H
) )  =  ( 0g `  H ) )
172137, 171syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  ( 0g `  H ) )  =  ( 0g `  H ) )
1734, 42, 165unitgrpid 15729 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  H
) )
17456, 173syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Z
)  =  ( 0g
`  H ) )
175174fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( ( P `
 I ) `  ( 0g `  H ) ) )
17670, 170, 43mulg0 14850 . . . . . . 7  |-  ( ( W `  I )  e.  U  ->  (
0  .x.  ( W `  I ) )  =  ( 0g `  H
) )
17769, 176syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  .x.  ( W `  I )
)  =  ( 0g
`  H ) )
178172, 175, 1773eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( 0  .x.  ( W `  I
) ) )
1791, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 21001 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( 1r `  Z )  e.  U )  /\  (
0  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( 0  .x.  ( W `  I
) ) ) )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  ( T ^ 0 ) )
180164, 167, 169, 178, 179syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  ( T ^
0 ) )
18178exp0d 11472 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T ^ 0 )  =  1 )
182180, 181eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
1831, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 92, 163, 182dchrelbasd 20976 . 2  |-  ( ph  ->  ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `
 v ) ,  0 ) )  e.  D )
18461, 44sseldi 3306 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
185 eleq1 2464 . . . . . . 7  |-  ( v  =  A  ->  (
v  e.  U  <->  A  e.  U ) )
186 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( v  =  A  ->  ( X `  v )  =  ( X `  A ) )
187 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( v  =  A  ->  0  =  0 )
188185, 186, 187ifbieq12d 3721 . . . . . 6  |-  ( v  =  A  ->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 )  =  if ( A  e.  U , 
( X `  A
) ,  0 ) )
189 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U , 
( X `  v
) ,  0 ) )  =  ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U , 
( X `  v
) ,  0 ) )
190 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( X `
 v )  e. 
_V
191 c0ex 9041 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
192190, 191ifex 3757 . . . . . 6  |-  if ( v  e.  U , 
( X `  v
) ,  0 )  e.  _V
193188, 189, 192fvmpt3i 5768 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  (
( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `
 v ) ,  0 ) ) `  A )  =  if ( A  e.  U ,  ( X `  A ) ,  0 ) )
194184, 193syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 ) ) `
 A )  =  if ( A  e.  U ,  ( X `
 A ) ,  0 ) )
195 iftrue 3705 . . . . 5  |-  ( A  e.  U  ->  if ( A  e.  U ,  ( X `  A ) ,  0 )  =  ( X `
 A ) )
19644, 195syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( A  e.  U ,  ( X `
 A ) ,  0 )  =  ( X `  A ) )
197194, 196eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 ) ) `
 A )  =  ( X `  A
) )
198 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  A  ->  (
( P `  I
) `  v )  =  ( ( P `
 I ) `  A ) )
199198eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( v  =  A  ->  (
( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  A )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
200199rexbidv 2687 . . . . . 6  |-  ( v  =  A  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  A )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
201200rspcv 3008 . . . . 5  |-  ( A  e.  U  ->  ( A. v  e.  U  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  ->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
20244, 94, 201sylc 58 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) )
2031, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 21001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  A )  =  ( T ^ a ) )
20447oveq1i 6050 . . . . . . . 8  |-  ( T ^ a )  =  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^
a )
205203, 204syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  A )  =  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) ) ^
a ) )
20648ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( ( P `  I ) `  A )  =/=  .1.  )
20758ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  H  e.  Grp )
20869ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( W `  I )  e.  U
)
209 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
21070, 46, 43, 170oddvds 15140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  ( W `  I )  e.  U  /\  a  e.  ZZ )  ->  (
( O `  ( W `  I )
)  ||  a  <->  ( a  .x.  ( W `  I
) )  =  ( 0g `  H ) ) )
211207, 208, 209, 210syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( ( O `  ( W `  I ) )  ||  a 
<->  ( a  .x.  ( W `  I )
)  =  ( 0g
`  H ) ) )
21272ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( O `  ( W `  I
) )  e.  NN )
213 root1eq1 20592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( O `  ( W `  I )
)  e.  NN  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  ( O `
 ( W `  I ) ) ) ) ^ a )  =  1  <->  ( O `  ( W `  I
) )  ||  a
) )
214212, 209, 213syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^ a )  =  1  <->  ( O `  ( W `  I
) )  ||  a
) )
215 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( ( P `  I ) `  A )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) )
21640, 174syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( 0g
`  H ) )
217216ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  .1.  =  ( 0g `  H ) )
218215, 217eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( (
( P `  I
) `  A )  =  .1.  <->  ( a  .x.  ( W `  I ) )  =  ( 0g
`  H ) ) )
219211, 214, 2183bitr4d 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^ a )  =  1  <->  ( ( P `  I ) `  A )  =  .1.  ) )
220219necon3bid 2602 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^ a )  =/=  1  <->  ( ( P `  I ) `  A )  =/=  .1.  ) )
221206, 220mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `
 ( W `  I ) ) ) ) ^ a )  =/=  1 )
222205, 221eqnetrd 2585 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  A )  =/=  1
)
223222rexlimdvaa 2791 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  -> 
( X `  A
)  =/=  1 ) )
22444, 223mpdan 650 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  A )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  ->  ( X `  A )  =/=  1
) )
225202, 224mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X `  A
)  =/=  1 )
226197, 225eqnetrd 2585 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 ) ) `
 A )  =/=  1 )
227 fveq1 5686 . . . 4  |-  ( x  =  ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 ) )  ->  ( x `  A )  =  ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `
 v ) ,  0 ) ) `  A ) )
228227neeq1d 2580 . . 3  |-  ( x  =  ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 ) )  ->  ( ( x `
 A )  =/=  1  <->  ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U , 
( X `  v
) ,  0 ) ) `  A )  =/=  1 ) )
229228rspcev 3012 . 2  |-  ( ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `
 v ) ,  0 ) )  e.  D  /\  ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 ) ) `  A
)  =/=  1 )  ->  E. x  e.  D  ( x `  A
)  =/=  1 )
230183, 226, 229syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  D  ( x `  A
)  =/=  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838   iotacio 5375   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238  ..^cfzo 11090   ^cexp 11337   #chash 11573  Word cword 11672    || cdivides 12807   Basecbs 13424   ↾s cress 13425   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640  .gcmg 14644    GrpHom cghm 14958   odcod 15118   DProd cdprd 15509  dProjcdpj 15510  mulGrpcmgp 15603   Ringcrg 15615   CRingccrg 15616   1rcur 15617  Unitcui 15699  ℤ/nczn 16736    ^ c ccxp 20406  DChrcdchr 20969
This theorem is referenced by:  dchrptlem3  21003
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-word 11678  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-divs 13690  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-gim 15001  df-cntz 15071  df-oppg 15097  df-od 15122  df-lsm 15225  df-pj1 15226  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-dprd 15511  df-dpj 15512  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-dchr 20970
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