Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnco 19748
 Description: Multiplicativity of the permutation sign function. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgninv.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgninv.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgninv.p 𝑃 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
psgnco ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃𝐺𝑃) → (𝑁‘(𝐹𝐺)) = ((𝑁𝐹) · (𝑁𝐺)))

Proof of Theorem psgnco
StepHypRef Expression
1 psgninv.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2 psgninv.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2610 . . . . 5 (+g𝑆) = (+g𝑆)
41, 2, 3symgov 17633 . . . 4 ((𝐹𝑃𝐺𝑃) → (𝐹(+g𝑆)𝐺) = (𝐹𝐺))
543adant1 1072 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃𝐺𝑃) → (𝐹(+g𝑆)𝐺) = (𝐹𝐺))
65fveq2d 6107 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃𝐺𝑃) → (𝑁‘(𝐹(+g𝑆)𝐺)) = (𝑁‘(𝐹𝐺)))
7 psgninv.n . . . 4 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
8 eqid 2610 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
91, 7, 8psgnghm2 19746 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
10 prex 4836 . . . . 5 {1, -1} ∈ V
11 eqid 2610 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
12 cnfldmul 19573 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
1311, 12mgpplusg 18316 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
148, 13ressplusg 15818 . . . . 5 ({1, -1} ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
1510, 14ax-mp 5 . . . 4 · = (+g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
162, 3, 15ghmlin 17488 . . 3 ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹𝑃𝐺𝑃) → (𝑁‘(𝐹(+g𝑆)𝐺)) = ((𝑁𝐹) · (𝑁𝐺)))
179, 16syl3an1 1351 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃𝐺𝑃) → (𝑁‘(𝐹(+g𝑆)𝐺)) = ((𝑁𝐹) · (𝑁𝐺)))
186, 17eqtr3d 2646 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃𝐺𝑃) → (𝑁‘(𝐹𝐺)) = ((𝑁𝐹) · (𝑁𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {cpr 4127   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  1c1 9816   · cmul 9820  -cneg 10146  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  +gcplusg 15768   GrpHom cghm 17480  SymGrpcsymg 17620  pmSgncpsgn 17732  mulGrpcmgp 18312  ℂfldccnfld 19567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-xor 1457  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-reverse 13160  df-s2 13444  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-oppg 17599  df-symg 17621  df-pmtr 17685  df-psgn 17734  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-cnfld 19568 This theorem is referenced by:  psgnfzto1st  29186  mdetpmtr1  29217  madjusmdetlem4  29224
 Copyright terms: Public domain W3C validator