MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgugrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgugrp 18622
Description: The units of a subring form a subgroup of the unit group of the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgugrp.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
subrgugrp.2 𝑈 = (Unit‘𝑅)
subrgugrp.3 𝑉 = (Unit‘𝑆)
subrgugrp.4 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgugrp (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem subrgugrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgugrp.1 . . 3 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
2 subrgugrp.2 . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3 subrgugrp.3 . . 3 𝑉 = (Unit‘𝑆)
41, 2, 3subrguss 18618 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉𝑈)
51subrgring 18606 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
6 eqid 2610 . . . 4 (1r𝑆) = (1r𝑆)
73, 61unit 18481 . . 3 (𝑆 ∈ Ring → (1r𝑆) ∈ 𝑉)
8 ne0i 3880 . . 3 ((1r𝑆) ∈ 𝑉𝑉 ≠ ∅)
95, 7, 83syl 18 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ≠ ∅)
10 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
111, 10ressmulr 15829 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
12113ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
1312oveqd 6566 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝑆)𝑦))
14 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (.r𝑆) = (.r𝑆)
153, 14unitmulcl 18487 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
165, 15syl3an1 1351 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
1713, 16eqeltrd 2688 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
18173expa 1257 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
1918ralrimiva 2949 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → ∀𝑦𝑉 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
20 eqid 2610 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
21 eqid 2610 . . . . . 6 (invr𝑆) = (invr𝑆)
221, 20, 3, 21subrginv 18619 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → ((invr𝑅)‘𝑥) = ((invr𝑆)‘𝑥))
233, 21unitinvcl 18497 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑉) → ((invr𝑆)‘𝑥) ∈ 𝑉)
245, 23sylan 487 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → ((invr𝑆)‘𝑥) ∈ 𝑉)
2522, 24eqeltrd 2688 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉)
2619, 25jca 553 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (∀𝑦𝑉 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))
2726ralrimiva 2949 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ∀𝑥𝑉 (∀𝑦𝑉 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))
28 subrgrcl 18608 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
29 subrgugrp.4 . . . 4 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
302, 29unitgrp 18490 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
312, 29unitgrpbas 18489 . . . 4 𝑈 = (Base‘𝐺)
32 fvex 6113 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) ∈ V
332, 32eqeltri 2684 . . . . 5 𝑈 ∈ V
34 eqid 2610 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3534, 10mgpplusg 18316 . . . . . 6 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
3629, 35ressplusg 15818 . . . . 5 (𝑈 ∈ V → (.r𝑅) = (+g𝐺))
3733, 36ax-mp 5 . . . 4 (.r𝑅) = (+g𝐺)
382, 29, 20invrfval 18496 . . . 4 (invr𝑅) = (invg𝐺)
3931, 37, 38issubg2 17432 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑉𝑈𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑉 (∀𝑦𝑉 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))))
4028, 30, 393syl 18 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑉𝑈𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑉 (∀𝑦𝑉 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))))
414, 9, 27, 40mpbir3and 1238 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  Vcvv 3173  wss 3540  c0 3874  cfv 5804  (class class class)co 6549  s cress 15696  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Grpcgrp 17245  SubGrpcsubg 17411  mulGrpcmgp 18312  1rcur 18324  Ringcrg 18370  Unitcui 18462  invrcinvr 18494  SubRingcsubrg 18599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-subrg 18601
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator