Theorem subrgring 18606

Description: A subring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgring.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgring	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem subrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgring.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	issubrg 18603	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
5	4	simplbi 475	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring))
6	5	simprd 478	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
7	1, 6	syl5eqel 2692	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  1_rcur 18324  Ringcrg 18370  SubRingcsubrg 18599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-subrg 18601

This theorem is referenced by:  subrgcrng  18607  subrgsubg  18609  subrg1  18613  subrgmcl  18615  subrgsubm  18616  subrguss  18618  subrginv  18619  subrgunit  18621  subrgugrp  18622  issubdrg  18628  subsubrg  18629  resrhm  18632  abvres  18662  sralmod  19008  subrgnzr  19089  issubassa  19145  subrgpsr  19240  mplring  19273  subrgmvrf  19283  subrgascl  19319  subrgasclcl  19320  evlssca  19343  evlsvar  19344  mpfconst  19351  mpfproj  19352  mpfsubrg  19353  gsumply1subr  19425  ply1ring  19439  evls1sca  19509  evls1gsumadd  19510  evls1varpw  19512  gzrngunitlem  19630  gzrngunit  19631  dmatcrng  20127  scmatcrng  20146  scmatsgrp1  20147  scmatsrng1  20148  scmatmhm  20159  scmatrhm  20160  scmatrngiso  20161  m2cpmrhm  20370  isclmp  22705  reefgim  24008  amgmlem  24516  amgmwlem  42357