MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgring Structured version   Unicode version

Theorem subrgring 17306
Description: A subring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgring.1  |-  S  =  ( Rs  A )
Assertion
Ref Expression
subrgring  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  S  e.  Ring )

Proof of Theorem subrgring
StepHypRef Expression
1 subrgring.1 . 2  |-  S  =  ( Rs  A )
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
42, 3issubrg 17303 . . . 4  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A )  e.  Ring )  /\  ( A  C_  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  A ) ) )
54simplbi 460 . . 3  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( Rs  A
)  e.  Ring )
)
65simprd 463 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( Rs  A
)  e.  Ring )
71, 6syl5eqel 2535 1  |-  ( A  e.  (SubRing `  R
)  ->  S  e.  Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    C_ wss 3461   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   ↾s cress 14510   1rcur 17027   Ringcrg 17072  SubRingcsubrg 17299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-ov 6284  df-subrg 17301
This theorem is referenced by:  subrgcrng  17307  subrgsubg  17309  subrg1  17313  subrgmcl  17315  subrgsubm  17316  subrguss  17318  subrginv  17319  subrgunit  17321  subrgugrp  17322  issubdrg  17328  subsubrg  17329  resrhm  17332  abvres  17362  sralmod  17707  subrgnzr  17790  issubassa  17847  subrgpsr  17948  mplring  17988  subrgmvrf  17998  subrgascl  18037  subrgasclcl  18038  evlssca  18065  evlsvar  18066  mpfconst  18073  mpfproj  18074  mpfsubrg  18075  gsumply1subr  18149  ply1ring  18163  evls1sca  18234  evls1gsumadd  18235  evls1varpw  18237  gzrngunitlem  18356  gzrngunit  18357  zlpirlem1  18387  zlpirlem3  18389  zlpir  18390  prmirredlemOLD  18399  prmirredOLD  18401  mulgghm2OLD  18407  mulgrhmOLD  18408  znlidlOLD  18447  dmatcrng  18877  scmatcrng  18896  scmatsgrp1  18897  scmatsrng1  18898  scmatmhm  18909  scmatrhm  18910  scmatrngiso  18911  m2cpmrhm  19120  reefgim  22717  amgmlem  23191  mzpmfpOLD  30655
  Copyright terms: Public domain W3C validator