Theorem gsumply1subr 19425

Description: Evaluate a group sum in a polynomial ring over a subring. (Contributed by AV, 22-Sep-2019.) (Proof shortened by AV, 31-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
subrgply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrgply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
subrgply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
gsumply1subr.s	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
gsumply1subr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumply1subr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumply1subr	⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumply1subr

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumply1subr.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		gsumply1subr.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
3		subrgply1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
4		subrgply1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
5		subrgply1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
6		subrgply1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
7	3, 4, 5, 6	subrgply1 19424	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		subrgsubg 18609	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
9		subgsubm 17439	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
11	2, 7, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑆))
12		gsumply1subr.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
13		eqid 2610	. . 3 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
14	1, 11, 12, 13	gsumsubm 17196	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = ((𝑆 ↾s 𝐵) Σg 𝐹))
15		fex 6394	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
16	12, 1, 15	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
17		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ V
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ V)
19		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (Poly1‘𝐻) ∈ V
20	5, 19	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ V
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
22		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
23	6	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s (Base‘𝑈))
24	3, 4, 5, 22, 2, 23	ressply1bas 19420	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) = (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
25	24	eqcomd 2616	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) = (Base‘𝑈))
26	13	subrgring 18606	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring)
27	7, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring)
28		ringmgm 18380	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Mgm)
29	2, 27, 28	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Mgm)
30		simpl 472	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → 𝜑)
31	3, 4, 5, 6, 2, 13	ressply1bas 19420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
32	31	eqcomd 2616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) = 𝐵)
33	32	eleq2d 2673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ↔ 𝑠 ∈ 𝐵))
34	33	biimpcd 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) → (𝜑 → 𝑠 ∈ 𝐵))
35	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵))) → (𝜑 → 𝑠 ∈ 𝐵))
36	35	impcom 445	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → 𝑠 ∈ 𝐵)
37	32	eleq2d 2673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ↔ 𝑡 ∈ 𝐵))
38	37	biimpcd 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) → (𝜑 → 𝑡 ∈ 𝐵))
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵))) → (𝜑 → 𝑡 ∈ 𝐵))
40	39	impcom 445	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → 𝑡 ∈ 𝐵)
41	3, 4, 5, 6, 2, 13	ressply1add 19421	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → (𝑠(+g‘𝑈)𝑡) = (𝑠(+g‘(𝑆 ↾s 𝐵))𝑡))
42	30, 36, 40, 41	syl12anc 1316	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → (𝑠(+g‘𝑈)𝑡) = (𝑠(+g‘(𝑆 ↾s 𝐵))𝑡))
43	42	eqcomd 2616	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))) → (𝑠(+g‘(𝑆 ↾s 𝐵))𝑡) = (𝑠(+g‘𝑈)𝑡))
44		ffun 5961	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
45	12, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
46		frn 5966	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
47	12, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
48	47, 31	sseqtrd 3604	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
49	16, 18, 21, 25, 29, 43, 45, 48	gsummgmpropd 17098	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾s 𝐵) Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))
50	14, 49	eqtrd 2644	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑈 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ran crn 5039  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  +_gcplusg 15768   Σ_g cgsu 15924  Mgmcmgm 17063  SubMndcsubmnd 17157  SubGrpcsubg 17411  Ringcrg 18370  SubRingcsubrg 18599  Poly₁cpl1 19368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373

This theorem is referenced by: (None)