Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgmvrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgmvrf 19283
 Description: The variables in a polynomial algebra are contained in every subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgmvr.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
subrgmvr.i (𝜑𝐼𝑊)
subrgmvr.r (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgmvr.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgmvrf.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgmvrf.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgmvrf (𝜑𝑉:𝐼𝐵)

Proof of Theorem subrgmvrf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 subrgmvr.v . . . 4 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3 eqid 2610 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
4 subrgmvr.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 subrgmvr.r . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6 subrgrcl 18608 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
81, 2, 3, 4, 7mvrf 19245 . . 3 (𝜑𝑉:𝐼⟶(Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
9 ffn 5958 . . 3 (𝑉:𝐼⟶(Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → 𝑉 Fn 𝐼)
108, 9syl 17 . 2 (𝜑𝑉 Fn 𝐼)
11 subrgmvr.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
122, 4, 5, 11subrgmvr 19282 . . . . . 6 (𝜑𝑉 = (𝐼 mVar 𝐻))
1312fveq1d 6105 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉𝑥) = ((𝐼 mVar 𝐻)‘𝑥))
1413adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑉𝑥) = ((𝐼 mVar 𝐻)‘𝑥))
15 subrgmvrf.u . . . . 5 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
16 eqid 2610 . . . . 5 (𝐼 mVar 𝐻) = (𝐼 mVar 𝐻)
17 subrgmvrf.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑈)
184adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
1911subrgring 18606 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
205, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Ring)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐻 ∈ Ring)
22 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
2315, 16, 17, 18, 21, 22mvrcl 19270 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐼 mVar 𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐵)
2414, 23eqeltrd 2688 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑉𝑥) ∈ 𝐵)
2524ralrimiva 2949 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝑉𝑥) ∈ 𝐵)
26 ffnfv 6295 . 2 (𝑉:𝐼𝐵 ↔ (𝑉 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑉𝑥) ∈ 𝐵))
2710, 25, 26sylanbrc 695 1 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  Ringcrg 18370  SubRingcsubrg 18599   mPwSer cmps 19172   mVar cmvr 19173   mPoly cmpl 19174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179 This theorem is referenced by:  subrgvr1cl  19453
 Copyright terms: Public domain W3C validator