Theorem subrgmvr 19282

Description: The variables in a subring polynomial algebra are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgmvr.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
subrgmvr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
subrgmvr.r	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgmvr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
subrgmvr	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar 𝐻))

Proof of Theorem subrgmvr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgmvr.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		subrgmvr.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	subrg1 18613	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
6		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	2, 6	subrg0 18610	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
9	5, 8	ifeq12d 4056	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻)))
10	9	mpteq2dv 4673	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻))))
11	10	mpteq2dv 4673	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻)))))
12		subrgmvr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
13		eqid 2610	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
14		subrgmvr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
15		subrgrcl 18608	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
16	1, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
17	12, 13, 6, 3, 14, 16	mvrfval 19241	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
18		eqid 2610	. . 3 ⊢ (𝐼 mVar 𝐻) = (𝐼 mVar 𝐻)
19		eqid 2610	. . 3 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
20		eqid 2610	. . 3 ⊢ (1r‘𝐻) = (1r‘𝐻)
21		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑇) ∈ V
22	2, 21	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
24	18, 13, 19, 20, 14, 23	mvrfval 19241	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mVar 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻)))))
25	11, 17, 24	3eqtr4d 2654	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  ifcif 4036   ↦ cmpt 4643  ^◡ccnv 5037   “ cima 5041  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169   ↾_s cress 15696  0_gc0g 15923  1_rcur 18324  Ringcrg 18370  SubRingcsubrg 18599   mVar cmvr 19173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-mvr 19178

This theorem is referenced by:  subrgmvrf  19283  evlsvarsrng  19349  evlvar  19350  subrgvr1  19452  evls1var  19523