Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlsvarsrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsvarsrng 19349
 Description: The evaluation of the variable of polynomials over subring yields the same result as evaluated as variable of the polynomials over the ring itself. (Contributed by AV, 12-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsvarsrng.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvarsrng.o 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
evlsvarsrng.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈)
evlsvarsrng.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evlsvarsrng.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlsvarsrng.i (𝜑𝐼𝐴)
evlsvarsrng.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlsvarsrng.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvarsrng.x (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
evlsvarsrng (𝜑 → (𝑄‘(𝑉𝑋)) = (𝑂‘(𝑉𝑋)))

Proof of Theorem evlsvarsrng
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsvarsrng.q . . 3 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2 evlsvarsrng.v . . 3 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈)
3 evlsvarsrng.u . . 3 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
4 evlsvarsrng.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 evlsvarsrng.i . . 3 (𝜑𝐼𝐴)
6 evlsvarsrng.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
7 evlsvarsrng.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8 evlsvarsrng.x . . 3 (𝜑𝑋𝐼)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8evlsvar 19344 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝑉𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)))
10 evlsvarsrng.o . . . . . 6 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
1110, 4evlval 19345 . . . . 5 𝑂 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑂 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵))
1312fveq1d 6105 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘(𝑉𝑋)) = (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘(𝑉𝑋)))
142a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈))
15 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝐼 mVar 𝑆) = (𝐼 mVar 𝑆)
1615, 5, 7, 3subrgmvr 19282 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 mVar 𝑆) = (𝐼 mVar 𝑈))
174ressid 15762 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ CRing → (𝑆s 𝐵) = 𝑆)
186, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆s 𝐵) = 𝑆)
1918eqcomd 2616 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 = (𝑆s 𝐵))
2019oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 mVar 𝑆) = (𝐼 mVar (𝑆s 𝐵)))
2114, 16, 203eqtr2d 2650 . . . . 5 (𝜑𝑉 = (𝐼 mVar (𝑆s 𝐵)))
2221fveq1d 6105 . . . 4 (𝜑 → (𝑉𝑋) = ((𝐼 mVar (𝑆s 𝐵))‘𝑋))
2322fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘(𝑉𝑋)) = (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘((𝐼 mVar (𝑆s 𝐵))‘𝑋)))
24 eqid 2610 . . . 4 ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)
25 eqid 2610 . . . 4 (𝐼 mVar (𝑆s 𝐵)) = (𝐼 mVar (𝑆s 𝐵))
26 eqid 2610 . . . 4 (𝑆s 𝐵) = (𝑆s 𝐵)
27 crngring 18381 . . . . 5 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
284subrgid 18605 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
296, 27, 283syl 18 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
3024, 25, 26, 4, 5, 6, 29, 8evlsvar 19344 . . 3 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘((𝐼 mVar (𝑆s 𝐵))‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)))
3113, 23, 303eqtrrd 2649 . 2 (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑔𝑋)) = (𝑂‘(𝑉𝑋)))
329, 31eqtrd 2644 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝑉𝑋)) = (𝑂‘(𝑉𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  SubRingcsubrg 18599   mVar cmvr 19173   evalSub ces 19325   eval cevl 19326 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-srg 18329  df-ring 18372  df-cring 18373  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-assa 19133  df-asp 19134  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-evls 19327  df-evl 19328 This theorem is referenced by:  evlvar  19350  evls1var  19523
 Copyright terms: Public domain W3C validator