MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlsvarsrng Structured version   Unicode version

Theorem evlsvarsrng 17718
Description: The evaluation of the variable of polynomials over subring yields the same result as evaluated as variable of the polynomials over the ring itself. (Contributed by AV, 12-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsvarsrng.q  |-  Q  =  ( ( I evalSub  S
) `  R )
evlsvarsrng.o  |-  O  =  ( I eval  S )
evlsvarsrng.v  |-  V  =  ( I mVar  U )
evlsvarsrng.u  |-  U  =  ( Ss  R )
evlsvarsrng.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
evlsvarsrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  A )
evlsvarsrng.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evlsvarsrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
evlsvarsrng.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
evlsvarsrng  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( V `  X )
)  =  ( O `
 ( V `  X ) ) )

Proof of Theorem evlsvarsrng
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsvarsrng.q . . 3  |-  Q  =  ( ( I evalSub  S
) `  R )
2 evlsvarsrng.v . . 3  |-  V  =  ( I mVar  U )
3 evlsvarsrng.u . . 3  |-  U  =  ( Ss  R )
4 evlsvarsrng.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 evlsvarsrng.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  A )
6 evlsvarsrng.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
7 evlsvarsrng.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
8 evlsvarsrng.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8evlsvar 17713 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( V `  X )
)  =  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 X ) ) )
10 evlsvarsrng.o . . . . . 6  |-  O  =  ( I eval  S )
1110, 4evlval 17714 . . . . 5  |-  O  =  ( ( I evalSub  S
) `  B )
1211a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  =  ( ( I evalSub  S ) `  B
) )
1312fveq1d 5788 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O `  ( V `  X )
)  =  ( ( ( I evalSub  S ) `
 B ) `  ( V `  X ) ) )
142a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  =  ( I mVar 
U ) )
15 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( I mVar 
S )  =  ( I mVar  S )
1615, 5, 7, 3subrgmvr 17644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I mVar  S )  =  ( I mVar  U
) )
174ressid 14332 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  CRing  ->  ( Ss  B
)  =  S )
186, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Ss  B )  =  S )
1918eqcomd 2458 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  =  ( Ss  B ) )
2019oveq2d 6203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I mVar  S )  =  ( I mVar  ( Ss  B ) ) )
2114, 16, 203eqtr2d 2497 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  =  ( I mVar  ( Ss  B ) ) )
2221fveq1d 5788 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( V `  X
)  =  ( ( I mVar  ( Ss  B ) ) `  X ) )
2322fveq2d 5790 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  B
) `  ( V `  X ) )  =  ( ( ( I evalSub  S ) `  B
) `  ( (
I mVar  ( Ss  B ) ) `  X ) ) )
24 eqid 2451 . . . 4  |-  ( ( I evalSub  S ) `  B
)  =  ( ( I evalSub  S ) `  B
)
25 eqid 2451 . . . 4  |-  ( I mVar  ( Ss  B ) )  =  ( I mVar  ( Ss  B ) )
26 eqid 2451 . . . 4  |-  ( Ss  B )  =  ( Ss  B )
27 crngrng 16758 . . . . 5  |-  ( S  e.  CRing  ->  S  e.  Ring )
284subrgid 16970 . . . . 5  |-  ( S  e.  Ring  ->  B  e.  (SubRing `  S )
)
296, 27, 283syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubRing `  S
) )
3024, 25, 26, 4, 5, 6, 29, 8evlsvar 17713 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( I evalSub  S ) `  B
) `  ( (
I mVar  ( Ss  B ) ) `  X ) )  =  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 X ) ) )
3113, 23, 303eqtrrd 2496 . 2  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  X
) )  =  ( O `  ( V `
 X ) ) )
329, 31eqtrd 2491 1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( V `  X )
)  =  ( O `
 ( V `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    |-> cmpt 4445   ` cfv 5513  (class class class)co 6187    ^m cmap 7311   Basecbs 14273   ↾s cress 14274   Ringcrg 16748   CRingccrg 16749  SubRingcsubrg 16964   mVar cmvr 17522   evalSub ces 17690   eval cevl 17691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-iin 4269  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-of 6417  df-ofr 6418  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-supp 6788  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-2o 7018  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-pm 7314  df-ixp 7361  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-fsupp 7719  df-sup 7789  df-oi 7822  df-card 8207  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-7 10483  df-8 10484  df-9 10485  df-10 10486  df-n0 10678  df-z 10745  df-dec 10854  df-uz 10960  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-seq 11905  df-hash 12202  df-struct 14275  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-ress 14280  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-sca 14353  df-vsca 14354  df-ip 14355  df-tset 14356  df-ple 14357  df-ds 14359  df-hom 14361  df-cco 14362  df-0g 14479  df-gsum 14480  df-prds 14485  df-pws 14487  df-mre 14623  df-mrc 14624  df-acs 14626  df-mnd 15514  df-mhm 15563  df-submnd 15564  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-sbg 15646  df-mulg 15647  df-subg 15777  df-ghm 15844  df-cntz 15934  df-cmn 16380  df-abl 16381  df-mgp 16694  df-ur 16706  df-srg 16710  df-rng 16750  df-cring 16751  df-rnghom 16909  df-subrg 16966  df-lmod 17053  df-lss 17117  df-lsp 17156  df-assa 17487  df-asp 17488  df-ascl 17489  df-psr 17526  df-mvr 17527  df-mpl 17528  df-evls 17692  df-evl 17693
This theorem is referenced by:  evlvar  17719  evls1var  17878
  Copyright terms: Public domain W3C validator