MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgmvr Structured version   Unicode version

Theorem subrgmvr 17887
Description: The variables in a subring polynomial algebra are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgmvr.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
subrgmvr.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
subrgmvr.r  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
subrgmvr.h  |-  H  =  ( Rs  T )
Assertion
Ref Expression
subrgmvr  |-  ( ph  ->  V  =  ( I mVar 
H ) )

Proof of Theorem subrgmvr
Dummy variables  x  y  f  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgmvr.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
2 subrgmvr.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Rs  T )
3 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
42, 3subrg1 17215 . . . . . 6  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 1r `  R )  =  ( 1r `  H ) )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( 1r
`  H ) )
6 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
72, 6subrg0 17212 . . . . . 6  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  H ) )
81, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  H ) )
95, 8ifeq12d 3952 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  =  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  H ) ,  ( 0g `  H ) ) )
109mpteq2dv 4527 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  H ) ,  ( 0g `  H ) ) ) )
1110mpteq2dv 4527 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  H ) ,  ( 0g `  H ) ) ) ) )
12 subrgmvr.v . . 3  |-  V  =  ( I mVar  R )
13 eqid 2460 . . 3  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
14 subrgmvr.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
15 subrgrcl 17210 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
161, 15syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1712, 13, 6, 3, 14, 16mvrfval 17840 . 2  |-  ( ph  ->  V  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
18 eqid 2460 . . 3  |-  ( I mVar 
H )  =  ( I mVar  H )
19 eqid 2460 . . 3  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
20 eqid 2460 . . 3  |-  ( 1r
`  H )  =  ( 1r `  H
)
21 ovex 6300 . . . . 5  |-  ( Rs  T )  e.  _V
222, 21eqeltri 2544 . . . 4  |-  H  e. 
_V
2322a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  _V )
2418, 13, 19, 20, 14, 23mvrfval 17840 . 2  |-  ( ph  ->  ( I mVar  H )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r
`  H ) ,  ( 0g `  H
) ) ) ) )
2511, 17, 243eqtr4d 2511 1  |-  ( ph  ->  V  =  ( I mVar 
H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2811   _Vcvv 3106   ifcif 3932    |-> cmpt 4498   `'ccnv 4991   "cima 4995   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    ^m cmap 7410   Fincfn 7506   0cc0 9481   1c1 9482   NNcn 10525   NN0cn0 10784   ↾s cress 14480   0gc0g 14684   1rcur 16936   Ringcrg 16979  SubRingcsubrg 17201   mVar cmvr 17765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-subg 15986  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-subrg 17203  df-mvr 17770
This theorem is referenced by:  subrgmvrf  17888  evlsvarsrng  17961  evlvar  17962  subrgvr1  18066  evls1var  18138
  Copyright terms: Public domain W3C validator