MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgmvr Unicode version

Theorem subrgmvr 16479
Description: The variables in a subring polynomial algebra are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgmvr.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
subrgmvr.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
subrgmvr.r  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
subrgmvr.h  |-  H  =  ( Rs  T )
Assertion
Ref Expression
subrgmvr  |-  ( ph  ->  V  =  ( I mVar 
H ) )

Proof of Theorem subrgmvr
Dummy variables  x  y  f  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgmvr.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
2 subrgmvr.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Rs  T )
3 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
42, 3subrg1 15833 . . . . . 6  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 1r `  R )  =  ( 1r `  H ) )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( 1r
`  H ) )
6 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
72, 6subrg0 15830 . . . . . 6  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  H ) )
81, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  H ) )
95, 8ifeq12d 3715 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  =  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  H ) ,  ( 0g `  H ) ) )
109mpteq2dv 4256 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  H ) ,  ( 0g `  H ) ) ) )
1110mpteq2dv 4256 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  H ) ,  ( 0g `  H ) ) ) ) )
12 subrgmvr.v . . 3  |-  V  =  ( I mVar  R )
13 eqid 2404 . . 3  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
14 subrgmvr.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
15 subrgrcl 15828 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
161, 15syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1712, 13, 6, 3, 14, 16mvrfval 16439 . 2  |-  ( ph  ->  V  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
18 eqid 2404 . . 3  |-  ( I mVar 
H )  =  ( I mVar  H )
19 eqid 2404 . . 3  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
20 eqid 2404 . . 3  |-  ( 1r
`  H )  =  ( 1r `  H
)
21 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( Rs  T )  e.  _V
222, 21eqeltri 2474 . . . 4  |-  H  e. 
_V
2322a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  _V )
2418, 13, 19, 20, 14, 23mvrfval 16439 . 2  |-  ( ph  ->  ( I mVar  H )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r
`  H ) ,  ( 0g `  H
) ) ) ) )
2511, 17, 243eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  V  =  ( I mVar 
H ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670   _Vcvv 2916   ifcif 3699    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   "cima 4840   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   0cc0 8946   1c1 8947   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ↾s cress 13425   0gc0g 13678   Ringcrg 15615   1rcur 15617  SubRingcsubrg 15819   mVar cmvr 16362
This theorem is referenced by:  subrgmvrf  16480  subrgvr1  16609
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-subg 14896  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-mvr 16373
  Copyright terms: Public domain W3C validator