MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgmvr Structured version   Unicode version

Theorem subrgmvr 17518
Description: The variables in a subring polynomial algebra are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgmvr.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
subrgmvr.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
subrgmvr.r  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
subrgmvr.h  |-  H  =  ( Rs  T )
Assertion
Ref Expression
subrgmvr  |-  ( ph  ->  V  =  ( I mVar 
H ) )

Proof of Theorem subrgmvr
Dummy variables  x  y  f  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgmvr.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
2 subrgmvr.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Rs  T )
3 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
42, 3subrg1 16855 . . . . . 6  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 1r `  R )  =  ( 1r `  H ) )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( 1r
`  H ) )
6 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
72, 6subrg0 16852 . . . . . 6  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  H ) )
81, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  H ) )
95, 8ifeq12d 3806 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  =  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  H ) ,  ( 0g `  H ) ) )
109mpteq2dv 4376 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  H ) ,  ( 0g `  H ) ) ) )
1110mpteq2dv 4376 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } 
|->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  H ) ,  ( 0g `  H ) ) ) ) )
12 subrgmvr.v . . 3  |-  V  =  ( I mVar  R )
13 eqid 2441 . . 3  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
14 subrgmvr.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
15 subrgrcl 16850 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
161, 15syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1712, 13, 6, 3, 14, 16mvrfval 17471 . 2  |-  ( ph  ->  V  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
18 eqid 2441 . . 3  |-  ( I mVar 
H )  =  ( I mVar  H )
19 eqid 2441 . . 3  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
20 eqid 2441 . . 3  |-  ( 1r
`  H )  =  ( 1r `  H
)
21 ovex 6115 . . . . 5  |-  ( Rs  T )  e.  _V
222, 21eqeltri 2511 . . . 4  |-  H  e. 
_V
2322a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  _V )
2418, 13, 19, 20, 14, 23mvrfval 17471 . 2  |-  ( ph  ->  ( I mVar  H )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( y  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ,  ( 1r
`  H ) ,  ( 0g `  H
) ) ) ) )
2511, 17, 243eqtr4d 2483 1  |-  ( ph  ->  V  =  ( I mVar 
H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761   {crab 2717   _Vcvv 2970   ifcif 3788    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   "cima 4839   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   Fincfn 7306   0cc0 9278   1c1 9279   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ↾s cress 14171   0gc0g 14374   1rcur 16593   Ringcrg 16635  SubRingcsubrg 16841   mVar cmvr 17397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-subg 15671  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-subrg 16843  df-mvr 17402
This theorem is referenced by:  subrgmvrf  17519  evlsvarsrng  17590  evlvar  17591  subrgvr1  17690  evls1var  17741
  Copyright terms: Public domain W3C validator