Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvrcl 19270
 Description: A power series variable is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrcl.s 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mvrcl.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrcl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mvrcl.i (𝜑𝐼𝑊)
mvrcl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mvrcl.x (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
mvrcl (𝜑 → (𝑉𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mvrcl
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mvrcl.v . . 3 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3 eqid 2610 . . 3 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
4 mvrcl.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 mvrcl.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6 mvrcl.x . . 3 (𝜑𝑋𝐼)
71, 2, 3, 4, 5, 6mvrcl2 19247 . 2 (𝜑 → (𝑉𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
8 fvex 6113 . . . 4 (𝑉𝑋) ∈ V
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑉𝑋) ∈ V)
10 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 eqid 2610 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
121, 10, 11, 3, 7psrelbas 19200 . . . 4 (𝜑 → (𝑉𝑋):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
13 ffun 5961 . . . 4 ((𝑉𝑋):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅) → Fun (𝑉𝑋))
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (𝑉𝑋))
15 fvex 6113 . . . 4 (0g𝑅) ∈ V
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
17 snfi 7923 . . . 4 {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin
1817a1i 11 . . 3 (𝜑 → {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin)
19 eqid 2610 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
20 eqid 2610 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
214adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝐼𝑊)
225adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑅 ∈ Ring)
236adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑋𝐼)
24 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}))
25 eldifsn 4260 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}) ↔ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑥 ≠ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
2624, 25sylib 207 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑥 ≠ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
2726simpld 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
282, 11, 19, 20, 21, 22, 23, 27mvrval2 19243 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ((𝑉𝑋)‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))
2926simprd 478 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ≠ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))
3029neneqd 2787 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ¬ 𝑥 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))
3130iffalsed 4047 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → if(𝑥 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
3228, 31eqtrd 2644 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ((𝑉𝑋)‘𝑥) = (0g𝑅))
3312, 32suppss 7212 . . 3 (𝜑 → ((𝑉𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})
34 suppssfifsupp 8173 . . 3 ((((𝑉𝑋) ∈ V ∧ Fun (𝑉𝑋) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin ∧ ((𝑉𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → (𝑉𝑋) finSupp (0g𝑅))
359, 14, 16, 18, 33, 34syl32anc 1326 . 2 (𝜑 → (𝑉𝑋) finSupp (0g𝑅))
36 mvrcl.s . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
37 mvrcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
3836, 1, 3, 19, 37mplelbas 19251 . 2 ((𝑉𝑋) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑉𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑉𝑋) finSupp (0g𝑅)))
397, 35, 38sylanbrc 695 1 (𝜑 → (𝑉𝑋) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   supp csupp 7182   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  0cc0 9815  1c1 9816  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  0gc0g 15923  1rcur 18324  Ringcrg 18370   mPwSer cmps 19172   mVar cmvr 19173   mPoly cmpl 19174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179 This theorem is referenced by:  subrgmvrf  19283  mplcoe3  19287  mplcoe5lem  19288  mplcoe5  19289  mplcoe2  19290  mplbas2  19291  mvrf2  19313  mpfproj  19352  mpfind  19357  vr1cl  19408
 Copyright terms: Public domain W3C validator