Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgasclcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgasclcl 19320
 Description: The scalars in a polynomial algebra are in the subring algebra iff the scalar value is in the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgascl.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
subrgascl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgascl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgascl.i (𝜑𝐼𝑊)
subrgascl.r (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgasclcl.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
subrgasclcl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
subrgasclcl.x (𝜑𝑋𝐾)
Assertion
Ref Expression
subrgasclcl (𝜑 → ((𝐴𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝑇))

Proof of Theorem subrgasclcl
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgascl.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝐼𝑊)
3 eqid 2610 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
43psrbag0 19315 . . . . 5 (𝐼𝑊 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
52, 4syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
6 eqid 2610 . . . . . 6 (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
7 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
8 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
9 subrgascl.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
10 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
11 subrgasclcl.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑅)
12 subrgascl.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algSc‘𝑃)
13 subrgascl.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
14 subrgrcl 18608 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
16 subrgasclcl.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐾)
179, 3, 10, 11, 12, 1, 15, 16mplascl 19317 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑋) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))))
1817adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴𝑋) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))))
19 subrgascl.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
20 subrgasclcl.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑈)
21 subrgascl.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
2221subrgring 18606 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
2313, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ Ring)
246, 19, 20, 1, 23mplsubrg 19261 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
258subrgss 18604 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
2726sselda 3568 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
2818, 27eqeltrrd 2689 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
296, 7, 3, 8, 28psrelbas 19200 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
30 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)))
3130fmpt 6289 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
3229, 31sylibr 223 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻))
33 iftrue 4042 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) = 𝑋)
3433eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)))
3534rspcv 3278 . . . 4 ((𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} → (∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)))
365, 32, 35sylc 63 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
3721subrgbas 18612 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
3813, 37syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 = (Base‘𝐻))
3938adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
4036, 39eleqtrrd 2691 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑋𝑇)
41 eqid 2610 . . . . . 6 (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
429, 12, 21, 19, 1, 13, 41subrgascl 19319 . . . . 5 (𝜑 → (algSc‘𝑈) = (𝐴𝑇))
4342fveq1d 6105 . . . 4 (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) = ((𝐴𝑇)‘𝑋))
44 fvres 6117 . . . 4 (𝑋𝑇 → ((𝐴𝑇)‘𝑋) = (𝐴𝑋))
4543, 44sylan9eq 2664 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) = (𝐴𝑋))
46 eqid 2610 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
4719mplring 19273 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝐻 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ Ring)
4819mpllmod 19272 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝐻 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ LMod)
49 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
5041, 46, 47, 48, 49, 20asclf 19158 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝐻 ∈ Ring) → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
511, 23, 50syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
5251adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
5319, 1, 23mplsca 19266 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 = (Scalar‘𝑈))
5453fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5538, 54eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5655eleq2d 2673 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑇𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))))
5756biimpa 500 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5852, 57ffvelrnd 6268 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) ∈ 𝐵)
5945, 58eqeltrrd 2689 . 2 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐴𝑋) ∈ 𝐵)
6040, 59impbida 873 1 (𝜑 → ((𝐴𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ◡ccnv 5037   ↾ cres 5040   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  0cc0 9815  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  Scalarcsca 15771  0gc0g 15923  Ringcrg 18370  SubRingcsubrg 18599  algSccascl 19132   mPwSer cmps 19172   mPoly cmpl 19174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mpl 19179 This theorem is referenced by:  subrg1asclcl  19451
 Copyright terms: Public domain W3C validator