MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgss 18604
Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgss.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
subrgss (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem subrgss
StepHypRef Expression
1 subrgss.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2610 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
31, 2issubrg 18603 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐴)))
43simprbi 479 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐴))
54simpld 474 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  s cress 15696  1rcur 18324  Ringcrg 18370  SubRingcsubrg 18599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-subrg 18601
This theorem is referenced by:  subrgsubg  18609  subrg1  18613  subrgsubm  18616  subrgdvds  18617  subrguss  18618  subrginv  18619  subrgdv  18620  subrgmre  18627  issubdrg  18628  subsubrg  18629  abvres  18662  sralmod  19008  issubassa  19145  sraassa  19146  aspid  19151  issubassa2  19166  resspsrbas  19236  resspsradd  19237  resspsrmul  19238  resspsrvsca  19239  mplassa  19275  ressmplbas2  19276  subrgascl  19319  subrgasclcl  19320  mplind  19323  evlsval2  19341  evlssca  19343  evlsscasrng  19347  mpfconst  19351  mpff  19354  mpfaddcl  19355  mpfmulcl  19356  mpfind  19357  ply1assa  19390  evls1val  19506  evls1rhm  19508  evls1sca  19509  evls1scasrng  19524  pf1f  19535  cnsubrg  19625  sranlm  22298  clmsscn  22687  cphreccllem  22786  cphdivcl  22790  cphabscl  22793  cphsqrtcl2  22794  cphsqrtcl3  22795  cphipcl  22799  4cphipval2  22849  resscdrg  22962  srabn  22964  plypf1  23772  dvply2g  23844  taylply2  23926  cnsrexpcl  36754  fsumcnsrcl  36755  cnsrplycl  36756  rgspnid  36761  rngunsnply  36762  sdrgacs  36790
  Copyright terms: Public domain W3C validator