MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgasclcl Structured version   Unicode version

Theorem subrgasclcl 17975
Description: The scalars in a polynomial algebra are in the subring algebra iff the scalar value is in the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
subrgascl.a  |-  A  =  (algSc `  P )
subrgascl.h  |-  H  =  ( Rs  T )
subrgascl.u  |-  U  =  ( I mPoly  H )
subrgascl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
subrgascl.r  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
subrgasclcl.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
subrgasclcl.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
subrgasclcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
Assertion
Ref Expression
subrgasclcl  |-  ( ph  ->  ( ( A `  X )  e.  B  <->  X  e.  T ) )

Proof of Theorem subrgasclcl
Dummy variables  x  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgascl.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
21adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  I  e.  W )
3 eqid 2467 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
43psrbag0 17970 . . . . 5  |-  ( I  e.  W  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
52, 4syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  ( I  X.  { 0 } )  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
6 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( I mPwSer  H )  =  ( I mPwSer  H )
7 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
8 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )
9 subrgascl.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( I mPoly  R )
10 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
11 subrgasclcl.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Base `  R
)
12 subrgascl.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  (algSc `  P )
13 subrgascl.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
14 subrgrcl 17246 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
16 subrgasclcl.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
179, 3, 10, 11, 12, 1, 15, 16mplascl 17972 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A `  X
)  =  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) ) ) )
1817adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  ( A `  X )  =  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) ) ) )
19 subrgascl.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( I mPoly  H )
20 subrgasclcl.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  U
)
21 subrgascl.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( Rs  T )
2221subrgrng 17244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  H  e.  Ring )
2313, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H  e.  Ring )
246, 19, 20, 1, 23mplsubrg 17913 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  H ) ) )
258subrgss 17242 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  H ) )  ->  B  C_  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) )
2726sselda 3504 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  ( A `  X )  e.  (
Base `  ( I mPwSer  H ) ) )
2818, 27eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X , 
( 0g `  R
) ) )  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) )
296, 7, 3, 8, 28psrelbas 17843 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X , 
( 0g `  R
) ) ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  H
) )
30 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( x  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X , 
( 0g `  R
) ) )
3130fmpt 6043 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } if ( x  =  (
I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  H
)  <->  ( x  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X , 
( 0g `  R
) ) ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  H
) )
3229, 31sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  A. x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  H ) )
33 iftrue 3945 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) )  =  X )
3433eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( x  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X , 
( 0g `  R
) )  e.  (
Base `  H )  <->  X  e.  ( Base `  H
) ) )
3534rspcv 3210 . . . 4  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  ->  ( A. x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  H )  ->  X  e.  ( Base `  H
) ) )
365, 32, 35sylc 60 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  X  e.  ( Base `  H )
)
3721subrgbas 17250 . . . . 5  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  =  ( Base `  H )
)
3813, 37syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  H ) )
3938adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  T  =  ( Base `  H )
)
4036, 39eleqtrrd 2558 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  X  e.  T )
41 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (algSc `  U )  =  (algSc `  U )
429, 12, 21, 19, 1, 13, 41subrgascl 17974 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (algSc `  U )  =  ( A  |`  T ) )
4342fveq1d 5868 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  U
) `  X )  =  ( ( A  |`  T ) `  X
) )
44 fvres 5880 . . . 4  |-  ( X  e.  T  ->  (
( A  |`  T ) `
 X )  =  ( A `  X
) )
4543, 44sylan9eq 2528 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  T )  ->  (
(algSc `  U ) `  X )  =  ( A `  X ) )
46 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
4719mplrng 17925 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  H  e.  Ring )  ->  U  e.  Ring )
4819mpllmod 17924 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  H  e.  Ring )  ->  U  e.  LMod )
49 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  U )
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
)
5041, 46, 47, 48, 49, 20asclf 17797 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  W  /\  H  e.  Ring )  -> 
(algSc `  U ) : ( Base `  (Scalar `  U ) ) --> B )
511, 23, 50syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (algSc `  U ) : ( Base `  (Scalar `  U ) ) --> B )
5251adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  T )  ->  (algSc `  U ) : (
Base `  (Scalar `  U
) ) --> B )
5319, 1, 23mplsca 17918 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  =  (Scalar `  U ) )
5453fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  H
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
5538, 54eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
5655eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  T  <->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) ) ) )
5756biimpa 484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  T )  ->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) ) )
5852, 57ffvelrnd 6023 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  T )  ->  (
(algSc `  U ) `  X )  e.  B
)
5945, 58eqeltrrd 2556 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  T )  ->  ( A `  X )  e.  B )
6040, 59impbida 830 1  |-  ( ph  ->  ( ( A `  X )  e.  B  <->  X  e.  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818    C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   `'ccnv 4998    |` cres 5001   "cima 5002   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    ^m cmap 7421   Fincfn 7517   0cc0 9493   NNcn 10537   NN0cn0 10796   Basecbs 14493   ↾s cress 14494  Scalarcsca 14561   0gc0g 14698   Ringcrg 17012  SubRingcsubrg 17237  algSccascl 17771   mPwSer cmps 17811   mPoly cmpl 17813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-hash 12375  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-tset 14577  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-mulg 15874  df-subg 16012  df-ghm 16079  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-subrg 17239  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-ascl 17774  df-psr 17816  df-mpl 17818
This theorem is referenced by:  subrg1asclcl  18112
  Copyright terms: Public domain W3C validator