MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgasclcl Structured version   Unicode version

Theorem subrgasclcl 17581
Description: The scalars in a polynomial algebra are in the subring algebra iff the scalar value is in the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
subrgascl.a  |-  A  =  (algSc `  P )
subrgascl.h  |-  H  =  ( Rs  T )
subrgascl.u  |-  U  =  ( I mPoly  H )
subrgascl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
subrgascl.r  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
subrgasclcl.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
subrgasclcl.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
subrgasclcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
Assertion
Ref Expression
subrgasclcl  |-  ( ph  ->  ( ( A `  X )  e.  B  <->  X  e.  T ) )

Proof of Theorem subrgasclcl
Dummy variables  x  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgascl.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
21adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  I  e.  W )
3 eqid 2443 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
43psrbag0 17576 . . . . 5  |-  ( I  e.  W  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
52, 4syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  ( I  X.  { 0 } )  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( I mPwSer  H )  =  ( I mPwSer  H )
7 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
8 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )
9 subrgascl.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( I mPoly  R )
10 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
11 subrgasclcl.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Base `  R
)
12 subrgascl.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  (algSc `  P )
13 subrgascl.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
14 subrgrcl 16870 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
16 subrgasclcl.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
179, 3, 10, 11, 12, 1, 15, 16mplascl 17578 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A `  X
)  =  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) ) ) )
1817adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  ( A `  X )  =  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) ) ) )
19 subrgascl.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( I mPoly  H )
20 subrgasclcl.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  U
)
21 subrgascl.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( Rs  T )
2221subrgrng 16868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  H  e.  Ring )
2313, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H  e.  Ring )
246, 19, 20, 1, 23mplsubrg 17519 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  H ) ) )
258subrgss 16866 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  H ) )  ->  B  C_  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) )
2726sselda 3356 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  ( A `  X )  e.  (
Base `  ( I mPwSer  H ) ) )
2818, 27eqeltrrd 2518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X , 
( 0g `  R
) ) )  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) )
296, 7, 3, 8, 28psrelbas 17450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X , 
( 0g `  R
) ) ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  H
) )
30 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( x  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X , 
( 0g `  R
) ) )
3130fmpt 5864 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } if ( x  =  (
I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  H
)  <->  ( x  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X , 
( 0g `  R
) ) ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  H
) )
3229, 31sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  A. x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  H ) )
33 iftrue 3797 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) )  =  X )
3433eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( x  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X , 
( 0g `  R
) )  e.  (
Base `  H )  <->  X  e.  ( Base `  H
) ) )
3534rspcv 3069 . . . 4  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  ->  ( A. x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  H )  ->  X  e.  ( Base `  H
) ) )
365, 32, 35sylc 60 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  X  e.  ( Base `  H )
)
3721subrgbas 16874 . . . . 5  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  =  ( Base `  H )
)
3813, 37syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  H ) )
3938adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  T  =  ( Base `  H )
)
4036, 39eleqtrrd 2520 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  X  e.  T )
41 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (algSc `  U )  =  (algSc `  U )
429, 12, 21, 19, 1, 13, 41subrgascl 17580 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (algSc `  U )  =  ( A  |`  T ) )
4342fveq1d 5693 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  U
) `  X )  =  ( ( A  |`  T ) `  X
) )
44 fvres 5704 . . . 4  |-  ( X  e.  T  ->  (
( A  |`  T ) `
 X )  =  ( A `  X
) )
4543, 44sylan9eq 2495 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  T )  ->  (
(algSc `  U ) `  X )  =  ( A `  X ) )
46 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
4719mplrng 17531 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  H  e.  Ring )  ->  U  e.  Ring )
4819mpllmod 17530 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  H  e.  Ring )  ->  U  e.  LMod )
49 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  U )
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
)
5041, 46, 47, 48, 49, 20asclf 17408 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  W  /\  H  e.  Ring )  -> 
(algSc `  U ) : ( Base `  (Scalar `  U ) ) --> B )
511, 23, 50syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (algSc `  U ) : ( Base `  (Scalar `  U ) ) --> B )
5251adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  T )  ->  (algSc `  U ) : (
Base `  (Scalar `  U
) ) --> B )
5319, 1, 23mplsca 17524 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  =  (Scalar `  U ) )
5453fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  H
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
5538, 54eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
5655eleq2d 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  T  <->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) ) ) )
5756biimpa 484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  T )  ->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) ) )
5852, 57ffvelrnd 5844 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  T )  ->  (
(algSc `  U ) `  X )  e.  B
)
5945, 58eqeltrrd 2518 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  T )  ->  ( A `  X )  e.  B )
6040, 59impbida 828 1  |-  ( ph  ->  ( ( A `  X )  e.  B  <->  X  e.  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   {crab 2719    C_ wss 3328   ifcif 3791   {csn 3877    e. cmpt 4350    X. cxp 4838   `'ccnv 4839    |` cres 4842   "cima 4843   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214   Fincfn 7310   0cc0 9282   NNcn 10322   NN0cn0 10579   Basecbs 14174   ↾s cress 14175  Scalarcsca 14241   0gc0g 14378   Ringcrg 16645  SubRingcsubrg 16861  algSccascl 17383   mPwSer cmps 17418   mPoly cmpl 17420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-ofr 6321  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-tset 14257  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-ghm 15745  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-subrg 16863  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-ascl 17386  df-psr 17423  df-mpl 17425
This theorem is referenced by:  subrg1asclcl  17714
  Copyright terms: Public domain W3C validator