MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgasclcl Structured version   Unicode version

Theorem subrgasclcl 18657
Description: The scalars in a polynomial algebra are in the subring algebra iff the scalar value is in the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
subrgascl.a  |-  A  =  (algSc `  P )
subrgascl.h  |-  H  =  ( Rs  T )
subrgascl.u  |-  U  =  ( I mPoly  H )
subrgascl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
subrgascl.r  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
subrgasclcl.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
subrgasclcl.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
subrgasclcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
Assertion
Ref Expression
subrgasclcl  |-  ( ph  ->  ( ( A `  X )  e.  B  <->  X  e.  T ) )

Proof of Theorem subrgasclcl
Dummy variables  x  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgascl.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
21adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  I  e.  W )
3 eqid 2429 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
43psrbag0 18652 . . . . 5  |-  ( I  e.  W  ->  (
I  X.  { 0 } )  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
52, 4syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  ( I  X.  { 0 } )  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } )
6 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( I mPwSer  H )  =  ( I mPwSer  H )
7 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
8 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )
9 subrgascl.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( I mPoly  R )
10 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
11 subrgasclcl.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Base `  R
)
12 subrgascl.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  (algSc `  P )
13 subrgascl.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
14 subrgrcl 17948 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
16 subrgasclcl.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
179, 3, 10, 11, 12, 1, 15, 16mplascl 18654 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A `  X
)  =  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) ) ) )
1817adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  ( A `  X )  =  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) ) ) )
19 subrgascl.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( I mPoly  H )
20 subrgasclcl.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  U
)
21 subrgascl.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( Rs  T )
2221subrgring 17946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  H  e.  Ring )
2313, 22syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H  e.  Ring )
246, 19, 20, 1, 23mplsubrg 18599 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  H ) ) )
258subrgss 17944 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  (SubRing `  (
I mPwSer  H ) )  ->  B  C_  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) )
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) )
2726sselda 3470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  ( A `  X )  e.  (
Base `  ( I mPwSer  H ) ) )
2818, 27eqeltrrd 2518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X , 
( 0g `  R
) ) )  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) )
296, 7, 3, 8, 28psrelbas 18538 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X , 
( 0g `  R
) ) ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  H
) )
30 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( x  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X , 
( 0g `  R
) ) )
3130fmpt 6058 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' f " NN )  e.  Fin } if ( x  =  (
I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  H
)  <->  ( x  e. 
{ f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }  |->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X , 
( 0g `  R
) ) ) : { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } --> ( Base `  H
) )
3229, 31sylibr 215 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  A. x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  H ) )
33 iftrue 3921 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) )  =  X )
3433eleq1d 2498 . . . . 5  |-  ( x  =  ( I  X.  { 0 } )  ->  ( if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X , 
( 0g `  R
) )  e.  (
Base `  H )  <->  X  e.  ( Base `  H
) ) )
3534rspcv 3184 . . . 4  |-  ( ( I  X.  { 0 } )  e.  {
f  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  ->  ( A. x  e.  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin } if ( x  =  ( I  X.  { 0 } ) ,  X ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  H )  ->  X  e.  ( Base `  H
) ) )
365, 32, 35sylc 62 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  X  e.  ( Base `  H )
)
3721subrgbas 17952 . . . . 5  |-  ( T  e.  (SubRing `  R
)  ->  T  =  ( Base `  H )
)
3813, 37syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  H ) )
3938adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  T  =  ( Base `  H )
)
4036, 39eleqtrrd 2520 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( A `  X )  e.  B
)  ->  X  e.  T )
41 eqid 2429 . . . . . 6  |-  (algSc `  U )  =  (algSc `  U )
429, 12, 21, 19, 1, 13, 41subrgascl 18656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (algSc `  U )  =  ( A  |`  T ) )
4342fveq1d 5883 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (algSc `  U
) `  X )  =  ( ( A  |`  T ) `  X
) )
44 fvres 5895 . . . 4  |-  ( X  e.  T  ->  (
( A  |`  T ) `
 X )  =  ( A `  X
) )
4543, 44sylan9eq 2490 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  T )  ->  (
(algSc `  U ) `  X )  =  ( A `  X ) )
46 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
4719mplring 18611 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  H  e.  Ring )  ->  U  e.  Ring )
4819mpllmod 18610 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  H  e.  Ring )  ->  U  e.  LMod )
49 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  U )
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
)
5041, 46, 47, 48, 49, 20asclf 18496 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  W  /\  H  e.  Ring )  -> 
(algSc `  U ) : ( Base `  (Scalar `  U ) ) --> B )
511, 23, 50syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (algSc `  U ) : ( Base `  (Scalar `  U ) ) --> B )
5251adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  T )  ->  (algSc `  U ) : (
Base `  (Scalar `  U
) ) --> B )
5319, 1, 23mplsca 18604 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  =  (Scalar `  U ) )
5453fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  H
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
5538, 54eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =  ( Base `  (Scalar `  U )
) )
5655eleq2d 2499 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  T  <->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) ) ) )
5756biimpa 486 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  T )  ->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) ) )
5852, 57ffvelrnd 6038 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  T )  ->  (
(algSc `  U ) `  X )  e.  B
)
5945, 58eqeltrrd 2518 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  T )  ->  ( A `  X )  e.  B )
6040, 59impbida 840 1  |-  ( ph  ->  ( ( A `  X )  e.  B  <->  X  e.  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   {crab 2786    C_ wss 3442   ifcif 3915   {csn 4002    |-> cmpt 4484    X. cxp 4852   `'ccnv 4853    |` cres 4856   "cima 4857   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480   Fincfn 7577   0cc0 9538   NNcn 10609   NN0cn0 10869   Basecbs 15084   ↾s cress 15085  Scalarcsca 15155   0gc0g 15297   Ringcrg 17715  SubRingcsubrg 17939  algSccascl 18470   mPwSer cmps 18510   mPoly cmpl 18512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-tset 15171  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-ascl 18473  df-psr 18515  df-mpl 18517
This theorem is referenced by:  subrg1asclcl  18788
  Copyright terms: Public domain W3C validator