Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgasclcl Structured version   Unicode version

Theorem subrgasclcl 18657
 Description: The scalars in a polynomial algebra are in the subring algebra iff the scalar value is in the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p mPoly
subrgascl.a algSc
subrgascl.h s
subrgascl.u mPoly
subrgascl.i
subrgascl.r SubRing
subrgasclcl.b
subrgasclcl.k
subrgasclcl.x
Assertion
Ref Expression
subrgasclcl

Proof of Theorem subrgasclcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgascl.i . . . . . 6
21adantr 466 . . . . 5
3 eqid 2429 . . . . . 6
43psrbag0 18652 . . . . 5
52, 4syl 17 . . . 4
6 eqid 2429 . . . . . 6 mPwSer mPwSer
7 eqid 2429 . . . . . 6
8 eqid 2429 . . . . . 6 mPwSer mPwSer
9 subrgascl.p . . . . . . . . 9 mPoly
10 eqid 2429 . . . . . . . . 9
11 subrgasclcl.k . . . . . . . . 9
12 subrgascl.a . . . . . . . . 9 algSc
13 subrgascl.r . . . . . . . . . 10 SubRing
14 subrgrcl 17948 . . . . . . . . . 10 SubRing
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9
16 subrgasclcl.x . . . . . . . . 9
179, 3, 10, 11, 12, 1, 15, 16mplascl 18654 . . . . . . . 8
1817adantr 466 . . . . . . 7
19 subrgascl.u . . . . . . . . . 10 mPoly
20 subrgasclcl.b . . . . . . . . . 10
21 subrgascl.h . . . . . . . . . . . 12 s
2221subrgring 17946 . . . . . . . . . . 11 SubRing
2313, 22syl 17 . . . . . . . . . 10
246, 19, 20, 1, 23mplsubrg 18599 . . . . . . . . 9 SubRing mPwSer
258subrgss 17944 . . . . . . . . 9 SubRing mPwSer mPwSer
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 mPwSer
2726sselda 3470 . . . . . . 7 mPwSer
2818, 27eqeltrrd 2518 . . . . . 6 mPwSer
296, 7, 3, 8, 28psrelbas 18538 . . . . 5
30 eqid 2429 . . . . . 6
3130fmpt 6058 . . . . 5
3229, 31sylibr 215 . . . 4
33 iftrue 3921 . . . . . 6
3433eleq1d 2498 . . . . 5
3534rspcv 3184 . . . 4
365, 32, 35sylc 62 . . 3
3721subrgbas 17952 . . . . 5 SubRing
3813, 37syl 17 . . . 4
3938adantr 466 . . 3
4036, 39eleqtrrd 2520 . 2
41 eqid 2429 . . . . . 6 algSc algSc
429, 12, 21, 19, 1, 13, 41subrgascl 18656 . . . . 5 algSc
4342fveq1d 5883 . . . 4 algSc
44 fvres 5895 . . . 4
4543, 44sylan9eq 2490 . . 3 algSc
46 eqid 2429 . . . . . . 7 Scalar Scalar
4719mplring 18611 . . . . . . 7
4819mpllmod 18610 . . . . . . 7
49 eqid 2429 . . . . . . 7 Scalar Scalar
5041, 46, 47, 48, 49, 20asclf 18496 . . . . . 6 algScScalar
511, 23, 50syl2anc 665 . . . . 5 algScScalar
5251adantr 466 . . . 4 algScScalar
5319, 1, 23mplsca 18604 . . . . . . . 8 Scalar
5453fveq2d 5885 . . . . . . 7 Scalar
5538, 54eqtrd 2470 . . . . . 6 Scalar
5655eleq2d 2499 . . . . 5 Scalar
5756biimpa 486 . . . 4 Scalar
5852, 57ffvelrnd 6038 . . 3 algSc
5945, 58eqeltrrd 2518 . 2
6040, 59impbida 840 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  crab 2786   wss 3442  cif 3915  csn 4002   cmpt 4484   cxp 4852  ccnv 4853   cres 4856  cima 4857  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmap 7480  cfn 7577  cc0 9538  cn 10609  cn0 10869  cbs 15084   ↾s cress 15085  Scalarcsca 15155  c0g 15297  crg 17715  SubRingcsubrg 17939  algSccascl 18470   mPwSer cmps 18510   mPoly cmpl 18512 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-tset 15171  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-ascl 18473  df-psr 18515  df-mpl 18517 This theorem is referenced by:  subrg1asclcl  18788
 Copyright terms: Public domain W3C validator