Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsubrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsubrg 18629
 Description: A subring of a subring is a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subsubrg.s 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subsubrg (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)))

Proof of Theorem subsubrg
StepHypRef Expression
1 subrgrcl 18608 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
43subrgss 18604 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
54adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
6 subsubrg.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
76subrgbas 18612 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
87adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
95, 8sseqtr4d 3605 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵𝐴)
106oveq1i 6559 . . . . . . . 8 (𝑆s 𝐵) = ((𝑅s 𝐴) ↾s 𝐵)
11 ressabs 15766 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑅s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅s 𝐵))
1210, 11syl5eq 2656 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑆s 𝐵) = (𝑅s 𝐵))
139, 12syldan 486 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑆s 𝐵) = (𝑅s 𝐵))
14 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑆s 𝐵) = (𝑆s 𝐵)
1514subrgring 18606 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
1615adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
1713, 16eqeltrrd 2689 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑅s 𝐵) ∈ Ring)
182, 17jca 553 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅s 𝐵) ∈ Ring))
19 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2019subrgss 18604 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
2120adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
229, 21sstrd 3578 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅))
23 eqid 2610 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
246, 23subrg1 18613 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) = (1r𝑆))
2524adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (1r𝑅) = (1r𝑆))
26 eqid 2610 . . . . . . . 8 (1r𝑆) = (1r𝑆)
2726subrg1cl 18611 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → (1r𝑆) ∈ 𝐵)
2827adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (1r𝑆) ∈ 𝐵)
2925, 28eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
3022, 29jca 553 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵))
3119, 23issubrg 18603 . . . 4 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅s 𝐵) ∈ Ring) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵)))
3218, 30, 31sylanbrc 695 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
3332, 9jca 553 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴))
346subrgring 18606 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
3534adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → 𝑆 ∈ Ring)
3612adantrl 748 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑆s 𝐵) = (𝑅s 𝐵))
37 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
3837subrgring 18606 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅s 𝐵) ∈ Ring)
3938ad2antrl 760 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑅s 𝐵) ∈ Ring)
4036, 39eqeltrd 2688 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
4135, 40jca 553 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑆s 𝐵) ∈ Ring))
42 simprr 792 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵𝐴)
437adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4442, 43sseqtrd 3604 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
4524adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (1r𝑅) = (1r𝑆))
4623subrg1cl 18611 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
4746ad2antrl 760 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
4845, 47eqeltrrd 2689 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (1r𝑆) ∈ 𝐵)
4944, 48jca 553 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (1r𝑆) ∈ 𝐵))
503, 26issubrg 18603 . . 3 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑆s 𝐵) ∈ Ring) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (1r𝑆) ∈ 𝐵)))
5141, 49, 50sylanbrc 695 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
5233, 51impbida 873 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  1rcur 18324  Ringcrg 18370  SubRingcsubrg 18599 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601 This theorem is referenced by:  subsubrg2  18630  subrgmpl  19281  mplbas2  19291  mplind  19323  zringunit  19655  rzgrp  24104
 Copyright terms: Public domain W3C validator