Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplind 19323
 Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. The commutativity condition is stronger than strictly needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplind.sk 𝐾 = (Base‘𝑅)
mplind.sv 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplind.sy 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplind.sp + = (+g𝑌)
mplind.st · = (.r𝑌)
mplind.sc 𝐶 = (algSc‘𝑌)
mplind.sb 𝐵 = (Base‘𝑌)
mplind.p ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
mplind.t ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
mplind.s ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐶𝑥) ∈ 𝐻)
mplind.v ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑉𝑥) ∈ 𝐻)
mplind.x (𝜑𝑋𝐵)
mplind.i (𝜑𝐼 ∈ V)
mplind.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
mplind (𝜑𝑋𝐻)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐾   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑉(𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mplind
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3795 . 2 (𝐻𝐵) ⊆ 𝐻
2 eqid 2610 . . . . . 6 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3 mplind.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
4 mplind.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
52, 3, 4psrassa 19235 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg)
6 inss2 3796 . . . . . 6 (𝐻𝐵) ⊆ 𝐵
7 mplind.sy . . . . . . . 8 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
8 mplind.sb . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
9 crngring 18381 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
104, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
112, 7, 8, 3, 10mplsubrg 19261 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
1312subrgss 18604 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
1411, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
156, 14syl5ss 3579 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐵) ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
16 mplind.sv . . . . . . . . 9 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
177, 16, 8, 3, 10mvrf2 19313 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
18 ffn 5958 . . . . . . . 8 (𝑉:𝐼𝐵𝑉 Fn 𝐼)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 Fn 𝐼)
20 mplind.v . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑉𝑥) ∈ 𝐻)
2120ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝑉𝑥) ∈ 𝐻)
22 fnfvrnss 6297 . . . . . . 7 ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑉𝑥) ∈ 𝐻) → ran 𝑉𝐻)
2319, 21, 22syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑉𝐻)
24 frn 5966 . . . . . . 7 (𝑉:𝐼𝐵 → ran 𝑉𝐵)
2517, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑉𝐵)
2623, 25ssind 3799 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ (𝐻𝐵))
27 eqid 2610 . . . . . 6 (AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2827, 12aspss 19153 . . . . 5 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐻𝐵) ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ ran 𝑉 ⊆ (𝐻𝐵)) → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) ⊆ ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻𝐵)))
295, 15, 26, 28syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) ⊆ ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻𝐵)))
307, 2, 16, 27, 3, 4mplbas2 19291 . . . . 5 (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) = (Base‘𝑌))
3130, 8syl6eqr 2662 . . . 4 (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘ran 𝑉) = 𝐵)
326a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝐵) ⊆ 𝐵)
337mplassa 19275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ AssAlg)
343, 4, 33syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ AssAlg)
35 mplind.sc . . . . . . . . . . . . . 14 𝐶 = (algSc‘𝑌)
36 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
3735, 36asclrhm 19163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ AssAlg → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌))
3834, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌))
39 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (1r‘(Scalar‘𝑌)) = (1r‘(Scalar‘𝑌))
40 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (1r𝑌) = (1r𝑌)
4139, 40rhm1 18553 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌) → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) = (1r𝑌))
4238, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) = (1r𝑌))
437, 3, 4mplsca 19266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑌))
4443, 10eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Scalar‘𝑌) ∈ Ring)
45 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
4645, 39ringidcl 18391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Scalar‘𝑌) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
4744, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
48 mplind.sk . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (Base‘𝑅)
4943fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
5048, 49syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
5147, 50eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ 𝐾)
52 mplind.s . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝐶𝑥) ∈ 𝐻)
5352ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐾 (𝐶𝑥) ∈ 𝐻)
54 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (1r‘(Scalar‘𝑌)) → (𝐶𝑥) = (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))))
5554eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (1r‘(Scalar‘𝑌)) → ((𝐶𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐻))
5655rspcva 3280 . . . . . . . . . . . 12 (((1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐶𝑥) ∈ 𝐻) → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐻)
5751, 53, 56syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐻)
5842, 57eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ 𝐻)
59 assaring 19141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ AssAlg → 𝑌 ∈ Ring)
6034, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
618, 40ringidcl 18391 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Ring → (1r𝑌) ∈ 𝐵)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ 𝐵)
6358, 62elind 3760 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ (𝐻𝐵))
64 ne0i 3880 . . . . . . . . 9 ((1r𝑌) ∈ (𝐻𝐵) → (𝐻𝐵) ≠ ∅)
6563, 64syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝐵) ≠ ∅)
661sseli 3564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) → 𝑧𝐻)
671sseli 3564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ (𝐻𝐵) → 𝑤𝐻)
6866, 67anim12i 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵)) → (𝑧𝐻𝑤𝐻))
69 mplind.p . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
7069caovclg 6724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐻𝑤𝐻)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐻)
7168, 70sylan2 490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐻)
72 assalmod 19140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌 ∈ AssAlg → 𝑌 ∈ LMod)
7334, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ LMod)
74 lmodgrp 18693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 ∈ LMod → 𝑌 ∈ Grp)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑌 ∈ Grp)
77 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐻𝐵))
786, 77sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑧𝐵)
79 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))
806, 79sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤𝐵)
81 mplind.sp . . . . . . . . . . . . . . 15 + = (+g𝑌)
828, 81grpcl 17253 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑧𝐵𝑤𝐵) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐵)
8376, 78, 80, 82syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝐵)
8471, 83elind 3760 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
8584anassrs 678 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
8685ralrimiva 2949 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
87 mplind.st . . . . . . . . . . . . 13 · = (.r𝑌)
88 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (invg𝑌) = (invg𝑌)
8960adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑌 ∈ Ring)
90 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐻𝐵))
916, 90sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑧𝐵)
928, 87, 40, 88, 89, 91ringnegl 18417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → (((invg𝑌)‘(1r𝑌)) · 𝑧) = ((invg𝑌)‘𝑧))
93 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝜑)
94 rhmghm 18548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) RingHom 𝑌) → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) GrpHom 𝑌))
9538, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) GrpHom 𝑌))
96 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (invg‘(Scalar‘𝑌)) = (invg‘(Scalar‘𝑌))
9745, 96, 88ghminv 17490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑌) GrpHom 𝑌) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg𝑌)‘(𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))))
9895, 47, 97syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg𝑌)‘(𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))))
9942fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((invg𝑌)‘(𝐶‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg𝑌)‘(1r𝑌)))
10098, 99eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) = ((invg𝑌)‘(1r𝑌)))
101 ringgrp 18375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Scalar‘𝑌) ∈ Ring → (Scalar‘𝑌) ∈ Grp)
10244, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Scalar‘𝑌) ∈ Grp)
10345, 96grpinvcl 17290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((Scalar‘𝑌) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑌)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
104102, 47, 103syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
105104, 50eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐾)
106 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) → (𝐶𝑥) = (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))))
107106eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = ((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) → ((𝐶𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) ∈ 𝐻))
108107rspcva 3280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌))) ∈ 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐶𝑥) ∈ 𝐻) → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) ∈ 𝐻)
109105, 53, 108syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶‘((invg‘(Scalar‘𝑌))‘(1r‘(Scalar‘𝑌)))) ∈ 𝐻)
110100, 109eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((invg𝑌)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐻)
111110adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ((invg𝑌)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐻)
1121, 90sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑧𝐻)
113 mplind.t . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
114113caovclg 6724 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (((invg𝑌)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐻𝑧𝐻)) → (((invg𝑌)‘(1r𝑌)) · 𝑧) ∈ 𝐻)
11593, 111, 112, 114syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → (((invg𝑌)‘(1r𝑌)) · 𝑧) ∈ 𝐻)
11692, 115eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ 𝐻)
11775adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → 𝑌 ∈ Grp)
1188, 88grpinvcl 17290 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑧𝐵) → ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ 𝐵)
119117, 91, 118syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ 𝐵)
120116, 119elind 3760 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵))
12186, 120jca 553 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐻𝐵)) → (∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵)))
122121ralrimiva 2949 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐻𝐵)(∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵)))
1238, 81, 88issubg2 17432 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Grp → ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐻𝐵) ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝐵)(∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵)))))
12475, 123syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐻𝐵) ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐻𝐵)(∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧 + 𝑤) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ((invg𝑌)‘𝑧) ∈ (𝐻𝐵)))))
12532, 65, 122, 124mpbir3and 1238 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌))
1261sseli 3564 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) → 𝑥𝐻)
1271sseli 3564 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐻𝐵) → 𝑦𝐻)
128126, 127anim12i 588 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵)) → (𝑥𝐻𝑦𝐻))
129128, 113sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
13060adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑌 ∈ Ring)
131 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐻𝐵))
1326, 131sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑥𝐵)
133 simprr 792 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))
1346, 133sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑦𝐵)
1358, 87ringcl 18384 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
136130, 132, 134, 135syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
137129, 136elind 3760 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐻𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻𝐵))
138137ralrimivva 2954 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐻𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐻𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻𝐵))
1398, 40, 87issubrg2 18623 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → ((𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (1r𝑌) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐻𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻𝐵))))
14060, 139syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (1r𝑌) ∈ (𝐻𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐻𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐻𝐵)(𝑥 · 𝑦) ∈ (𝐻𝐵))))
141125, 63, 138, 140mpbir3and 1238 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌))
1427, 2, 8mplval2 19252 . . . . . . . 8 𝑌 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
143142subsubrg 18629 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → ((𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻𝐵) ⊆ 𝐵)))
144143simprbda 651 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘𝑌)) → (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14511, 141, 144syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
146 assalmod 19140 . . . . . . 7 ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
1475, 146syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod)
1482, 7, 8, 3, 10mpllss 19259 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
14934adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑌 ∈ AssAlg)
150 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
151 simprr 792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))
1526, 151sseldi 3566 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤𝐵)
153 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌)
15435, 36, 45, 8, 87, 153asclmul1 19160 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ AssAlg ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤𝐵) → ((𝐶𝑧) · 𝑤) = (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤))
155149, 150, 152, 154syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → ((𝐶𝑧) · 𝑤) = (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤))
15650adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
157150, 156eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑧𝐾)
15853adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → ∀𝑥𝐾 (𝐶𝑥) ∈ 𝐻)
159 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (𝐶𝑥) = (𝐶𝑧))
160159eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐶𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (𝐶𝑧) ∈ 𝐻))
161160rspcva 3280 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐶𝑥) ∈ 𝐻) → (𝐶𝑧) ∈ 𝐻)
162157, 158, 161syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝐶𝑧) ∈ 𝐻)
1631, 151sseldi 3566 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑤𝐻)
164162, 163jca 553 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → ((𝐶𝑧) ∈ 𝐻𝑤𝐻))
165113caovclg 6724 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝐶𝑧) ∈ 𝐻𝑤𝐻)) → ((𝐶𝑧) · 𝑤) ∈ 𝐻)
166164, 165syldan 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → ((𝐶𝑧) · 𝑤) ∈ 𝐻)
167155, 166eqeltrrd 2689 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ 𝐻)
16873adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → 𝑌 ∈ LMod)
1698, 36, 153, 45lmodvscl 18703 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ 𝐵)
170168, 150, 152, 169syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ 𝐵)
171167, 170elind 3760 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐻𝐵))) → (𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
172171ralrimivva 2954 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ (𝐻𝐵))
173 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑌) = (LSubSp‘𝑌)
17436, 45, 8, 153, 173islss4 18783 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ LMod → ((𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ (𝐻𝐵))))
17573, 174syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))∀𝑤 ∈ (𝐻𝐵)(𝑧( ·𝑠𝑌)𝑤) ∈ (𝐻𝐵))))
176125, 172, 175mpbir2and 959 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌))
177 eqid 2610 . . . . . . . 8 (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
178142, 177, 173lsslss 18782 . . . . . . 7 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌) ↔ ((𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻𝐵) ⊆ 𝐵)))
179178simprbda 651 . . . . . 6 ((((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∧ (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘𝑌)) → (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
180147, 148, 176, 179syl21anc 1317 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
18127, 12, 177aspid 19151 . . . . 5 (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (𝐻𝐵) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝐻𝐵) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻𝐵)) = (𝐻𝐵))
1825, 145, 180, 181syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → ((AlgSpan‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘(𝐻𝐵)) = (𝐻𝐵))
18329, 31, 1823sstr3d 3610 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ (𝐻𝐵))
184 mplind.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
185183, 184sseldd 3569 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝐵))
1861, 185sseldi 3566 1 (𝜑𝑋𝐻)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  SubGrpcsubg 17411   GrpHom cghm 17480  1rcur 18324  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371   RingHom crh 18535  SubRingcsubrg 18599  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  AssAlgcasa 19130  AlgSpancasp 19131  algSccascl 19132   mPwSer cmps 19172   mVar cmvr 19173   mPoly cmpl 19174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-srg 18329  df-ring 18372  df-cring 18373  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-assa 19133  df-asp 19134  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179 This theorem is referenced by:  mpfind  19357
 Copyright terms: Public domain W3C validator