Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatsgrp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatsgrp1 20147
 Description: The set of scalar matrices is a subgroup of the group/ring of diagonal matrices. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0 0 = (0g𝑅)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatsgrp1.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
scmatsgrp1.c 𝐶 = (𝐴s 𝐷)
Assertion
Ref Expression
scmatsgrp1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))

Proof of Theorem scmatsgrp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 scmatid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 scmatid.e . . . . 5 𝐸 = (Base‘𝑅)
4 scmatid.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 scmatid.s . . . . 5 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
6 scmatsgrp1.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 20140 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥𝑆𝑥𝐷))
87ssrdv 3574 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆𝐷)
91, 2, 4, 6dmatsgrp 20124 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
109ancoms 468 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
11 scmatsgrp1.c . . . . . 6 𝐶 = (𝐴s 𝐷)
1211subgbas 17421 . . . . 5 (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) → 𝐷 = (Base‘𝐶))
1312eqcomd 2616 . . . 4 (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) → (Base‘𝐶) = 𝐷)
1410, 13syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐶) = 𝐷)
158, 14sseqtr4d 3605 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
161, 2, 3, 4, 5scmatid 20139 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝑆)
17 ne0i 3880 . . 3 ((1r𝐴) ∈ 𝑆𝑆 ≠ ∅)
1816, 17syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ≠ ∅)
1910adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴))
207com12 32 . . . . . . 7 (𝑥𝑆 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑥𝐷))
2120adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑥𝐷))
2221impcom 445 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥𝐷)
231, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 20140 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦𝑆𝑦𝐷))
2423a1d 25 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑥𝑆 → (𝑦𝑆𝑦𝐷)))
2524imp32 448 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦𝐷)
26 eqid 2610 . . . . . . 7 (-g𝐴) = (-g𝐴)
27 eqid 2610 . . . . . . 7 (-g𝐶) = (-g𝐶)
2826, 11, 27subgsub 17429 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ∧ 𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) = (𝑥(-g𝐶)𝑦))
2928eqcomd 2616 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐴) ∧ 𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥(-g𝐶)𝑦) = (𝑥(-g𝐴)𝑦))
3019, 22, 25, 29syl3anc 1318 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(-g𝐶)𝑦) = (𝑥(-g𝐴)𝑦))
311, 2, 3, 4, 5scmatsubcl 20142 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝑆)
3230, 31eqeltrd 2688 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
3332ralrimivva 2954 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
341, 2, 4, 6dmatsrng 20126 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
3534ancoms 468 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴))
3611subrgring 18606 . . . 4 (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐴) → 𝐶 ∈ Ring)
3735, 36syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
38 ringgrp 18375 . . 3 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
39 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4039, 27issubg4 17436 . . 3 (𝐶 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)))
4137, 38, 403syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(-g𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)))
4215, 18, 33, 41mpbir3and 1238 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  SubGrpcsubg 17411  1rcur 18324  Ringcrg 18370  SubRingcsubrg 18599   Mat cmat 20032   DMat cdmat 20113   ScMat cscmat 20114 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mamu 20009  df-mat 20033  df-dmat 20115  df-scmat 20116 This theorem is referenced by:  scmatsrng1  20148
 Copyright terms: Public domain W3C validator