Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | issubg4.b |
. . . 4
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺) |
2 | 1 | subgss 17418 |
. . 3
⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵) |
3 | | eqid 2610 |
. . . . 5
⊢
(0g‘𝐺) = (0g‘𝐺) |
4 | 3 | subg0cl 17425 |
. . . 4
⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) →
(0g‘𝐺)
∈ 𝑆) |
5 | | ne0i 3880 |
. . . 4
⊢
((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → 𝑆 ≠ ∅) |
6 | 4, 5 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ≠ ∅) |
7 | | issubg4.p |
. . . . . 6
⊢ − =
(-g‘𝐺) |
8 | 7 | subgsubcl 17428 |
. . . . 5
⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) |
9 | 8 | 3expb 1258 |
. . . 4
⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) |
10 | 9 | ralrimivva 2954 |
. . 3
⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) |
11 | 2, 6, 10 | 3jca 1235 |
. 2
⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆)) |
12 | | simplrl 796 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵) |
13 | | simplrr 797 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ≠ ∅) |
14 | | simprr 792 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅) |
15 | | r19.2z 4012 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑆 ≠ ∅ ∧
∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) |
16 | 14, 15 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) |
17 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝑥)) |
18 | 17 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆)) |
19 | 18 | rspcv 3278 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆)) |
20 | 19 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆)) |
21 | | simprl 790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ 𝐵) |
22 | 21 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
23 | 1, 3, 7 | grpsubid 17322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑥) = (0g‘𝐺)) |
24 | 23 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 − 𝑥) = (0g‘𝐺)) |
25 | 22, 24 | syldan 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − 𝑥) = (0g‘𝐺)) |
26 | 25 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)) |
27 | 20, 26 | sylibd 228 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)) |
28 | 27 | rexlimdva 3013 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)) |
29 | 28 | imp 444 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) |
30 | 16, 29 | syldan 486 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆) |
31 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) |
32 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑥 − 𝑦) = ((0g‘𝐺) − 𝑦)) |
33 | 32 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆)) |
34 | 33 | ralbidv 2969 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆)) |
35 | 34 | rspcv 3278 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((0g‘𝐺) ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆)) |
36 | 30, 31, 35 | sylc 63 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆) |
37 | 1, 3 | grpidcl 17273 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐺 ∈ Grp →
(0g‘𝐺)
∈ 𝐵) |
38 | 37 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵) |
39 | 21 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵) |
40 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(+g‘𝐺) = (+g‘𝐺) |
41 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(invg‘𝐺) = (invg‘𝐺) |
42 | 1, 40, 41, 7 | grpsubval 17288 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) − 𝑦) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦))) |
43 | 38, 39, 42 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺) − 𝑦) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦))) |
44 | | simpll 786 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp) |
45 | 1, 41 | grpinvcl 17290 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵) |
46 | 44, 39, 45 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵) |
47 | 1, 40, 3 | grplid 17275 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧
((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) = ((invg‘𝐺)‘𝑦)) |
48 | 44, 46, 47 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑦)) = ((invg‘𝐺)‘𝑦)) |
49 | 43, 48 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝐺) − 𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑦)) |
50 | 49 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)) |
51 | 50 | ralbidva 2968 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)) |
52 | 51 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((0g‘𝐺) − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)) |
53 | 36, 52 | mpbid 221 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) |
54 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑧)) |
55 | 54 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆)) |
56 | 55 | rspccva 3281 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((∀𝑦 ∈
𝑆
((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆) |
57 | 56 | ad2ant2l 778 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆) |
58 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 = ((invg‘𝐺)‘𝑧) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 −
((invg‘𝐺)‘𝑧))) |
59 | 58 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 = ((invg‘𝐺)‘𝑧) → ((𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 −
((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆)) |
60 | 59 | rspcv 3278 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑆 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 −
((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆)) |
61 | 57, 60 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥 −
((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆)) |
62 | | simplll 794 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝐺 ∈ Grp) |
63 | | simplrl 796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵) |
64 | 63 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵) |
65 | | simprl 790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆) |
66 | 64, 65 | sseldd 3569 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐵) |
67 | | simprr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ 𝑆) |
68 | 64, 67 | sseldd 3569 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → 𝑧 ∈ 𝐵) |
69 | 1, 40, 7, 41, 62, 66, 68 | grpsubinv 17311 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (𝑥 −
((invg‘𝐺)‘𝑧)) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑧)) |
70 | 69 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 −
((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) |
71 | 61, 70 | sylibd 228 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) |
72 | 71 | anassrs 678 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐺 ∈ Grp
∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) |
73 | 72 | ralrimdva 2952 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) |
74 | 73 | ralimdva 2945 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) |
75 | 74 | impancom 455 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) |
76 | 53, 75 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆) |
77 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) |
78 | 77 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) |
79 | 78 | ralbidv 2969 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆)) |
80 | 79 | cbvralv 3147 |
. . . . . . . 8
⊢
(∀𝑥 ∈
𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆) |
81 | 76, 80 | sylib 207 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆) |
82 | | r19.26 3046 |
. . . . . . 7
⊢
(∀𝑦 ∈
𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)) |
83 | 81, 53, 82 | sylanbrc 695 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)) |
84 | 12, 13, 83 | 3jca 1235 |
. . . . 5
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆))) |
85 | 84 | exp42 637 |
. . . 4
⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)))))) |
86 | 85 | 3impd 1273 |
. . 3
⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)))) |
87 | 1, 40, 41 | issubg2 17432 |
. . 3
⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑆)))) |
88 | 86, 87 | sylibrd 248 |
. 2
⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))) |
89 | 11, 88 | impbid2 215 |
1
⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 − 𝑦) ∈ 𝑆))) |