Theorem grplid 17275

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 17252	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 17134	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 487	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  0_gc0g 15923  Mndcmnd 17117  Grpcgrp 17245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248

This theorem is referenced by:  grprcan  17278  grpid  17280  isgrpid2  17281  grprinv  17292  grpinvid1  17293  grpinvid2  17294  grpidinv2  17297  grpinvid  17299  grplcan  17300  grpasscan1  17301  grpidlcan  17304  grplmulf1o  17312  grpidssd  17314  grpinvadd  17316  grpinvval2  17321  grplactcnv  17341  imasgrp  17354  mulgaddcom  17387  mulgdirlem  17395  subg0  17423  issubg2  17432  issubg4  17436  0subg  17442  isnsg3  17451  nmzsubg  17458  ssnmz  17459  eqger  17467  eqgid  17469  qusgrp  17472  qus0  17475  ghmid  17489  conjghm  17514  conjnmz  17517  subgga  17556  cntzsubg  17592  sylow1lem2  17837  sylow2blem2  17859  sylow2blem3  17860  sylow3lem1  17865  lsmmod  17911  lsmdisj2  17918  pj1rid  17938  abladdsub4  18042  ablpncan2  18044  ablpnpcan  18048  ablnncan  18049  odadd1  18074  odadd2  18075  oddvdssubg  18081  dprdfadd  18242  pgpfac1lem3a  18298  ringlz  18410  ringrz  18411  isabvd  18643  lmod0vlid  18716  lmod0vs  18719  psr0lid  19216  mplsubglem  19255  mplcoe1  19286  evpmodpmf1o  19761  ocvlss  19835  lsmcss  19855  mdetunilem6  20242  mdetunilem9  20245  ghmcnp  21728  tgpt0  21732  qustgpopn  21733  mdegaddle  23638  ply1rem  23727  ogrpinvOLD  29046  ogrpinv0le  29047  ogrpaddltrbid  29052  ogrpinv0lt  29054  ogrpinvlt  29055  isarchi3  29072  archirngz  29074  archiabllem1b  29077  orngsqr  29135  ornglmulle  29136  orngrmulle  29137  ofldchr  29145  matunitlindflem1  32575  lfl0f  33374  lfladd0l  33379  lkrlss  33400  lkrin  33469  dvhgrp  35414  baerlem3lem1  36014  mapdh6bN  36044  hdmap1l6b  36119  hdmapinvlem3  36230  hdmapinvlem4  36231  hdmapglem7b  36238  rnglz  41674